Ara Değer Teoremi ve Aşırı Değer Teoremi arasındaki fark nedir?

Cevap:

Orta Değer Teoremi (IVT) belirli aralıklarla sürekli olan fonksiyonları söyler. # A, b # Uçları arasındaki tüm (ara) değerleri almak. Aşırı Değer Teoremi (EVT) üzerinde sürekli olan fonksiyonları söyler # A, b # Aşırı değerlerine ulaşmak (yüksek ve düşük).

Açıklama:

İşte EVT'nin bir açıklaması: Let # F # sürekli olmak # A, b #. O zaman sayılar var # c, d in a, b # öyle ki #f (c) leq f (x) leq f (d) # hepsi için #x in a, b #. "Supremum" başka bir şekilde belirtti # M # ve "infimum" # M # aralığın # {f (x): x in a, b } # var (sonlu) ve sayıları var # c, d in a, b # öyle ki #f (c) m = # ve #f (d) = M #.

İşlev # F # üzerinde sürekli olmalı # A, b # Sonuç tutmak için. Örneğin, eğer # F # öyle bir fonksiyon #f (0) = 0.5 #, #f (x) x # = için #0<>, ve #f (1) = 0.5 #, sonra # F # değerinde maksimum veya minimum değer yok #0,1#. (En yüksek ve aralıktaki aralık var (sırasıyla 1 ve 0), ancak işlev bu değerlere asla erişmez (asla eşittir).)

Ayrıca aralığın kapatılması gerektiğini de unutmayın. İşlev #f (x) x # = açık aralıkta azami veya asgari değer elde edemez #(0,1)#. (Bir kez daha, supremum ve menzilin azlığı var (sırasıyla 1 ve 0), ancak işlev bu değerlere asla erişmez (asla eşittir).)

İşlev #f (x) = 1 / x # ayrıca açık aralıkta maksimum veya minimum bir değere ulaşmaz #(0,1)#. Dahası, aralığın üstünlüğü sonlu bir sayı olarak bile mevcut değil (“sonsuz”).

İşte IVT bir açıklama: Hadi # F # sürekli olmak # A, b # ve varsayalım #f (a) '! = f (b) #. Eğer # V # arasında herhangi bir sayı #f (a) # ve #f (b) '#, sonra bir sayı var #c in (a, b) # öyle ki #f (c) hacim # =. Ayrıca, eğer # V # supremum ile menzili arasındaki değer arasında bir sayıdır. # {f (x): x in a, b} #, sonra bir sayı var #c in a, b # öyle ki #f (c) hacim # =.

Süreksiz fonksiyonların resimlerini çizerseniz, neden olduğu çok açık # F # IVT'nin doğru olması için sürekli olması gerekir.