F (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 ekstrema ve sele noktaları nelerdir?

Cevap:

# {: ("Kritik Nokta", "Sonuç"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "eyer"), ((-1,2), "eyer "), ((-5 / 3,0)," maks "):} #

Açıklama:

Ekstremitesini belirleme teorisi # Z = (x, y) f # geçerli:

Kritik denklemleri aynı anda çözün

# (kısmi f) / (kısmi x) = (kısmi f) / (kısmi y) = 0 # # (yani # Z_x = z_y = 0 #)
Değerlendirmek #f_ (x x), f_ (yy) ve f_ (xy) (= f_ (yx)) # Bu kritik noktaların her birinde. Dolayısıyla değerlendirin # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # bu noktaların her birinde
Ekstrematın doğasını belirleme;

# {: (Delta> 0, "Minimum" f_ (xx) <0), (, "ve" f_ (yy)> 0 "olduğunda maksimum, (Delta <0," bir eyer noktası ")), (Delta = 0, "Daha fazla analiz gerekli"):} #

Böylece sahibiz:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

İlk kısmi türevleri bulalım:

# (kısmi f) / (kısmi x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (kısmi f) / (kısmi y) = 2xy + 2y #

Yani kritik denklemlerimiz:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

İkinci denklemden bizde:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Subs # X = -1 # İlk denklem içine ve biz olsun:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

Subs • y = 0 # İlk denklem içine ve biz olsun:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

Ve böylece biz dört koordinatlara sahip kritik noktalar;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Şimdi ikinci kısmi türevlere bakalım, böylece kritik noktaların doğasını belirleyebiliriz:

# (kısmi ^ 2f) / (kısmi x ^ 2) = 12x + 10 #

# (kısmi ^ 2f) / (kısmi y ^ 2) = 2x + 2 #

# (kısmi ^ 2f) / (kısmi x kısmi y) = 2y (= (kısmi ^ 2f) / (kısmi y kısmi x)) #

Ve biz hesaplamalıyız:

# Delta = (kısmi ^ 2f) / (kısmi x ^ 2) (kısmi ^ 2f) / (kısmi y ^ 2) - ((kısmi ^ 2f) / (kısmi x kısmi y)) ^ 2 #

Her kritik noktada. İkinci kısmi türev değerleri, #Delta#ve sonuç aşağıdaki gibidir:

# {: ("Kritik Nokta", (kısmi ^ 2f) / (kısmi x ^ 2), (kısmi ^ 2f) / (kısmi y ^ 2), (kısmi ^ 2f) / (kısmi x kısmi y), Delta, "Sonuç"), ((0,0), 10,2,0,> 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "eyer"), ((-1,2), - 2,0,4, <0, "eyer"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "maks"):} #

3B arsaya bakarsak bu kritik noktaları görebiliriz: