Cevap:
Üçüncü tarafın en kısa olması için, # (1 + sqrt2) b |> ABSA> absb # (ve şu # Bir # ve # B # aynı işareti var).
Açıklama:
Sağ üçgenin en uzun tarafı her zaman hipotenüstür. Bu yüzden hipotenüsün uzunluğunun biliyoruz. # A ^ 2 + b ^ 2. #
Bilinmeyen yan uzunluğu olsun # C. # Sonra Pisagor teoreminden biliyoruz.
# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #
veya
# C = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #
#color (beyaz) C = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a'ya ^ 2b ^ 2) #
#color (beyaz) C = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #
#color (beyaz) C = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #
#color (beyaz) c = a ^ 2-b ^ 2 #
Ayrıca tüm yan uzunlukların pozitif olmasını da şart koşuyoruz.
- # Bir ^ 2 + b ^ 2> 0 #
# => a! = 0 veya b! = 0 #
- # 2ab> 0 #
# => a, b> 0 veya a, b <0 #
- # C = a ^ 2-b ^ 2> 0 #
# <=> A ^ 2> b ^ 2 #
# <=> ABSA> absb #
Şimdi herhangi en uzun taraf olan üçgen şart daha kısa olmak toplam diğer iki tarafın. Böylece sahibiz:
#color (white) (=>) 2ab + "" c renkli (beyaz) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab rengi (beyaz) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #
# => {(a> b "," b> 0 ise), (a <b "," b <0 ise):} #
Ayrıca, üçüncü tarafın en küçük olması için, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #
veya # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # veya # a-b <sqrt2b # veya #a <b (1 + sqrt2) #
Tüm bu kısıtlamaları birleştirerek, üçüncü tarafın en kısa olması için, # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb ve (a, b <0 veya a, b> 0). #
