Lütfen açıklayın, bu bir doğrusal dönüşüm mü değil mi?

Cevap:

Aşağıya bakınız

Açıklama:

Bir dönüşüm #T: V - W # Aşağıdaki iki özelliğe sahipse doğrusal olduğu söylenir:

• #T (v_1 + V_2) = T (v_1) + T (V_2) # her şey için # v_1, v_2, V #
• #T (CV) = cT (v) # her şey için #v # V # ve her skaler # C #

İkinci özelliğin varsayıldığını # V # toplam iki işlem ve skalar çarpımı ile gömülüdür. Bizim durumumuzda, toplam polinomlar arasındaki toplamdır ve çarpma, gerçek sayılarla çarpmadır (farz ediyorum).

Bir polinom türettiğinizde derecesini düşürürsünüz #1#, eğer derecenizde bir polinom türetirseniz #4# iki kere derece polinomu alacaksın #2#. Dört dereceli polinomun tümünden bahsettiğimizde, aslında tüm derece polinomlarının kümesini kastediyoruz. en fazla Dört. Aslında, genel bir derece dört polinom

# A_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Derece iki polinom istiyorsanız 3. + 6x-5x ^ 2 #örneğin, sadece

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

Olduğu söyleniyor, haydi derece polinomu uzayını tanımlayalım # N # ile # P_n #ve operatörümüzü tanımlayın #T: P_4 ila P_2 # öyle ki #T (f (x)) = f '' (x) #

İlk özelliği ispatlayalım: Polinomlarımız olduğunu varsayalım

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

ve

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Bu şu demek # P_1 + p_2 # eşittir

# (A_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (A_2 + B_2) x ^ 2 + (a_3 + B_3) x, ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # bu polinomun ikinci türevidir, yani

2. (A_2 + B_2) + 6 (a_3 + B_3) X + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(Türev için iki kez güç kuralı uyguladım: ikinci türev # X ^ n # olduğu # n (n-1) x ^ {n-2} #)

Şimdi hesaplayalım #T (p_1) #yani ikinci türev # P_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Benzer şekilde, #T (p_2) #yani ikinci türev # P_2 #, # 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Bu ifadeyi toplarsanız, bizim yaptığımızı görebilirsiniz.

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

İkinci özellik benzer bir şekilde gösterilmiştir: polinom verildiğinde

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Gerçek sayı için elimizde # C #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

ikinci türevi ise

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

hangisi bilgisayarla aynı #T (p) #, ve ardından her şeyi çarpın # C #yani #T (cp) = CT (s) #