Cevap:
Lütfen aşağıdaki açıklamaya bakınız
Açıklama:
İşlev
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
Kısmi türevler
# (Delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (Delf) / (dELy) = 2y + a-3 #
let # (Delf) / (delx) 0 # = ve # (Delf) / (dELy) 0 # =
Sonra, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + a-3 = 0):} #
#=>#, # {(X = 3), (y = 3):} #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (dELy ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) # 1 =
# (Del ^ 2f) / (delydelx) # 1 =
Hessian matrisi
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dELy ^ 2))) #
Determinant
#D (x, y) = det üzere (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Bu nedenle, Hiçbir eyer noktası yok.
#D (1,1)> 0 # ve # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, yerel minimum #(-3,3)#
Cevap:
Yerel minimum: #(-3,3)#
Açıklama:
Hem ekstrema hem de eyer noktalarını içeren nokta grubu, her ikisinde de bulunur. # (Delf) / (delx) (x, y) # ve # (Delf) / (dELy) (x, y) # sıfıra eşittir.
varsayarsak # X # ve • y # bağımsız değişkenler:
# (Delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (Delf) / (dELy) (x, y) = x + 2y-3 #
Böylece, aynı anda iki doğrusal denklemimiz var, ki bunlar mutlu bir şekilde doğrusal olur:
# 2x + y + 3 = 0 #
#, X + 2y-3 = 0 #
Birinciden:
• y = 2x-3 #
İkincinin yerine:
# X + 2 (2x-3) -3 = 0 #
# X 4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# X = -3 #
İlk yerine geri dön:
2. (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
• y = 3 #
Bu nedenle ilk türevlerin, bir ekstremum veya bir eyer olarak eşit şekilde sıfıra döndükleri bir nokta var. # (X, y) = (- 3,3) #.
Hangisini bulmak için, ikinci türevlerin matrisini, Hessian matrisini hesaplamamız gerekir (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dELy ^ 2))) #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) # 1 =
# (Del ^ 2f) / (delydelx) # 1 =
# (Del ^ 2f) / (dELy ^ 2) = 2 #
Böylece
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dELy ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Tüm ikinci mertebeden türevler, değerleri ne olursa olsun aynı şekilde sabittir. # X # ve • y #Dolayısıyla, özel olarak ilgi konusu için değerleri hesaplamamız gerekmez.
NB Farklılaşma sırası sürekli ikinci türevli fonksiyonlar için önemli değildir (Clairault's Teoremi, burada uygulama: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives) ve # (Del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, yukarıdaki özel sonuçlarımızda gördüğümüz gibi.
Bu iki değişkenli durumda, noktanın türünü Hessian'ın belirleyicisinden çıkarabiliriz. # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dELy ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
Uygulanacak testin bir şekli burada verilmiştir:
Belirleyicinin #>0#, Ve öyleyse # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Yani biz sonuçlandırıyoruz #(-3,3)#sıfır ilk türevin tek noktası, fonksiyonun yerel bir minimumudur.
Bir boyutlu fonksiyon sorusu için bir akıl sağlığı kontrolü olarak, genellikle grafiğini yazıyorum, ancak Socratic'ın görebildiğim kadarıyla iki boyutlu fonksiyonlar için uygun bir yüzey veya kontur çizme tesisi yok. Böylece iki işlevi üst üste çizeceğim #f (-3, y) # ve #f (x, 3) #bizim için tüm fonksiyon alanını karakterize etmiyor, fakat aralarında minimum olanı gösterecek. • y = 3 # ve # X = -3 #, aynı fonksiyon değerini alarak = -5 # f # herbir durumda.
Gibi #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
grafik {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
