Bir top, doğrudan 12 feet yükseklikte düşürülür. Yere çarptığında, düştüğü mesafenin 1 / 3'ünde geri zıplar. Top dinlenmeden önce ne kadar ileri (aşağı ve yukarı) hareket eder?

Cevap:

Top 24 feet sürecek.

Açıklama:

Bu problem sonsuz serilerin değerlendirilmesini gerektirir. Topun gerçek davranışını göz önünde bulundurun:

İlk önce top 12 feet düşer.

Sonra top sıçradı #12/3 = 4# ayaklar.

Top daha sonra 4 feet düşer.

Her art arda sıçradığında top hareket eder

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # ayaklar, nerede # N # sıçrama sayısı

Böylece, topun başladığını hayal edersek #n = 0 #O zaman cevabımız geometrik diziden elde edilebilir:

# sum_ (n = 0) ^ sonlu 24/3 ^ n - 12 #

Not #-12# Düzeltme terimi, bunun nedeni bizden başlarsak # N = 0 # 12 aya kadar, 12 aya kadar 0 sıçramayı sayıyoruz. Gerçekte, top havada kalırken, bunun sadece yarısını geçiyor.

Toplamı şu şekilde basitleştirebiliriz:

# 24sum_ (n = 0) ^ azami 1/3 ^ n - 12 #

Bu sadece kuralı izleyen basit bir geometrik seridir:

#lim_ (n-> infty) toplam_ (i = 0) ^ nr ^ i = 1 / (1 - r) #

Olduğu sürece # | R | <1 #

Bu, sorunumuza basit bir çözüm getirir:

# 24sum_ (n = 0) ^ tam 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# ayaklar.