Sonsuz bir dizilimin limiti ile ne kastedilmektedir?

Sonsuz bir dizinin sınırı bize bunun uzun vadeli davranışını anlatır.

Gerçek sayılar dizisi verildi # A_n #, limit #lim_ (n = oo) a_n = lim a_n # Dizini yaptığımız sırada, dizinin yaklaştığı (herhangi bir değere yaklaşırsa) tek değer olarak # N # Daha büyük. Bir dizinin sınırı her zaman mevcut değildir. Olursa, dizinin olduğu söylenir. yakınsak, aksi takdirde olduğu söyleniyor ıraksak.

İki basit örnek:

• Sırayı düşünün 1. / N #. Limit olduğunu görmek kolaydır #0#. Aslında, yakın herhangi bir pozitif değer verilen #0#, yeterince büyük bir değer bulabiliriz # N # öyle ki 1. / N # verilen değerden daha düşükse, bunun limiti sıfıra eşit veya daha az olması gerektiği anlamına gelir. Ayrıca, dizinin her terimi sıfırdan büyüktür, bu nedenle sınırı, sıfıra büyük veya eşit olmalıdır. Bu nedenle, bu #0#.

• Sabit diziyi al #1#. Yani, verilen herhangi bir değer için # N #, dönem # A_n # dizinin eşittir #1#. Ne kadar büyük olursak olalım belli # N # dizinin değeri #1#. Yani sınırı #1#.

Daha titiz bir tanım için, # A_n # Gerçek sayılar dizisi olmak (yani #forall n, NN'de: a_n, RR #) ve #RR'de #epsilon #. Sonra sayı # Bir # olduğu söyleniyor sınır dizinin # A_n # ancak ve ancak:

#forall epsilon> 0, NN'de N bulunur: n> N => | a_n - a | <epsilon #

Bu tanım, yukarıda verilen gayri resmi tanımla eşdeğerdir, ancak limit için bir bütünlük koymamıza gerek yoktur (düşülebilir).