Aşağıdaki seri yakınsak olan x'in değerlerini bulun.

Cevap:

#1<>

Açıklama:

Bunlar gibi güç serilerinin yarıçapını ve / veya yakınsama aralığını belirlemeye çalışırken, bize bir dizi için söyleyen Oran Testini kullanmak en iyisidir. # Suma_n #izin verdik

# L = lim_ (n> oo) | a_, (n + 1) / a_n | #.

Eğer #L <1 # Seri kesinlikle yakınsak (ve dolayısıyla yakınsak)

Eğer #L> 1 #, dizi farklılaşır.

Eğer # L = 1, # Oran Testi kesin değildir.

Ancak Power Serisi için üç kasa mümkündür

a. Güç serisi tüm gerçek sayılar için bir araya gelir; yakınsama aralığı # (- oo, oo) #

b. Güç serisi bazı numaralar için yakınsak #, # x = a yakınsama yarıçapı sıfırdır.

c. En sık karşılaşılan durum, güç serisi için yakınsak # | X-a |<> yakınsama aralığı ile # A-R,

# | 2x-3 | lim_ (n> oo) 1 = | 2x-3 | #

Öyleyse, eğer # | 2x-3 | <1 #, dizi yakınsak. Fakat buna ihtiyacımız var # | X-a |<>

# | 2, (x-3/2) | <1 #

2. | x-3/2 | <1 #

# | X-2/3 | <1/2 # yakınsama ile sonuçlanır. Yakınsama yarıçapı # R = 1 / 2. #

Şimdi aralıkları belirleyelim:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Takmamız gerek # x = 1, x = 2 # Bu son noktalarda yakınsama veya uzaklaşma olup olmadığını görmek için orijinal seriye.

# x = 1: toplam_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = toplam_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # farklılaşırsa, zirvenin sınırı yoktur ve kesinlikle sıfıra gitmez, sadece işaretleri değiştirir.

# x = 2: toplam_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = toplam_ (n = 0) ^ oo1 # Diverjans Testiyle de ayrışır, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Bu nedenle, dizi #1<>

Serimiz varsa söyleyen oran testini kullanabiliriz.

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

eğer kesinlikle yakınsaksa:

#lim_ (n> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

Bizim durumumuzda # A_n = (2x-3) ^ n #, bu yüzden limiti kontrol ediyoruz:

#lim_ (n> oo) | (2 x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n> oo) | ((2x-3) iptal ((2x-3 = # |) ^ n)) /) n ^ ((2x-3) iptal

# = Lim_ (n> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Yani ne zaman kontrol etmemiz gerekiyor # | 2x-3 | # daha az #1#:

Burada bir hata yaptım, ancak yukarıdaki cevabın aynı yöntemi ve doğru cevabı var, bunun yerine sadece bir göz atın.