Cevap:
Kesinlikle birleşiyor.
Açıklama:
Testi mutlak yakınsama için kullanın. Terimlerin mutlak değerini alırsak seriyi alırız.
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Bu, ortak oranın geometrik bir dizisidir. #1/4#. Böylece birleşir. İkisinden beri # | A_n | # yakınsak # A_n # kesinlikle birleşiyor.
Umarım bu yardımcı olur!
Cevap:
# "Basit bir geometrik seri ve kesinlikle ile birleşiyor" # # "sum" = 16/5 = 3.2. "#
Açıklama:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", | a | <1"
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Al" a = -1/4 ", sonra biz" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Şimdi serimiz ilk terimin 4 katı olduğundan dört kat daha fazla." #
# "Öyleyse dizimiz" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Cevap:
Geometrik seriler kesinlikle
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, toplam_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Açıklama:
Bu seri kesinlikle alternatif bir seridir; ancak, aynı zamanda geometrik görünüyor.
Tüm terimlerle paylaşılan ortak oranı belirleyebilirsek, seri biçiminde olur
#sum_ (n = 0) ^ OOA (r) ^ n #
Nerede # Bir # ilk terim ve # R # ortak orandır.
Yukarıdaki formatı kullanarak toplamı bulmamız gerekecek.
Ortak oranı belirlemek için her terimi bir terime ayırın # R #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Böylece, bu seri ortak orana sahip, geometrik # R = -1/4 #ve ilk terim # A = 4. #
Serisi olarak yazabiliriz.
#sum_ (n = 0) ^ OO4 (-1/4) ^ n #
Geometrik bir seri hatırlayın #sum_ (n = 0) ^ OOA (r) ^ n # yakınlaşır # A / (1-r) # Eğer # | R | <1 #. Yani yakınsaksa kesin değerini de bulabiliriz.
İşte, # | R | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, yani dizi yakınsak olur:
#sum_ (n = 0) ^ OO4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Şimdi kesinlikle birleşip birleşmeyeceğini belirleyelim.
# A_n = 4 (-1/4) ^ n #
Alternatif negatif terimi çıkartın:
# A_n = 4 (1) ^ n (1/4) ^ n #
Alternatif negatif terimin kaybolmasına neden olarak mutlak değeri alın:
# | A_n | = 4 (1/4) ^ n #
Böylece, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ OO4 (1/4) ^ n #
Görürüz # | R | = / 4 1 <1 #, yani hala yakınsamamız var:
#sum_ (n = 0) ^ OO4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
Serisi kesinlikle ile yakınlaşıyor
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, toplam_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
