Bunu nasıl entegre edersiniz? Dx (x²-x + 1) Bu bölüme sıkışıp kaldım (resim yüklendi)

Cevap:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x1) / sqrt3) + c #

Açıklama:

Peşini bırakmamak, sürdürmek…

let # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Bir antiderivatif kullanarak belleğe ne yapılması gerektiği …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x1) / sqrt3) + c #

Bu aldatıcı küçük bir entegraldir ve çözüm ilk başta açık görünmeyecektir. Bu bir kesir olduğundan, kısmi kesirler tekniğini kullanmayı düşünebiliriz, ancak hızlı bir analiz bunun mümkün olmadığını göstermektedir. # X, ^ 2-x + 1 # faktora alınabilir değil.

Bu integrali, gerçekten bütünleştirebileceğimiz bir forma almaya çalışacağız. Arasındaki benzerlik dikkat edin # INT1 / (x ^ 2-x + 1) dx # ve # INT1 / (x ^ 2 + 1) dx #; İkinci integralin değerlendirildiğini biliyoruz. # Arctanx + C #. Bu nedenle almaya çalışacağız # X, ^ 2-x + 1 # şeklinde #K (X-a) ^ 2 + 1 #ve ardından uygulayın. # Arctanx # kural.

Kareyi tamamlamamız gerekecek # X, ^ 2-x + 1 #:

# X, ^ 2-x + 1 #

# = X ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (X-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (X-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (Sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (Sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(çok dağınık, biliyorum)

Şimdi istediğimiz şekilde elimizde olduğundan, aşağıdaki şekilde ilerleyebiliriz:

# INT1 / (x ^ 2-x + 1) dx = INT1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2 x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2 x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #