Kareköklerinin toplamının minimum olduğu iki sayının nasıl seçileceği, iki sayının çarpımının bittiği nasıl bilinir?

Cevap:

# X = y = sqrt (a) '#

Açıklama:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "en az" #

# "Lagrange çarpanı L ile çalışabiliriz:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Verimden türetme:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(x"! = "0)" ile çarptıktan sonra #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Şimdi yine de x = 0'ı kontrol etmeliyiz." #

# "O zaman x * y = 0 gibi imkansız." #

# "Yani eşsiz bir çözüme sahibiz" #

# X = y = sqrt (a) '#

Cevap:

Seni aşağıdaki çözüm yönteminden almaya çalışacağım.

Açıklama:

Ne arıyoruz?

İki sayı. Onlara isimler verelim. # X # ve • y #.

Soruyu yeniden okuyun.

Kareköklerin toplamını minimal yapmak istiyoruz.

Bu bize iki şey söyler

(1) her iki sayı da negatif değildir (hayalgücünden kaçınmak için)

(2) değeri ile ilgileniyoruz # Sqrtx + sqrty #

Soruyu yeniden okuyun.

Ayrıca ürünün # X # ve • y # olduğu # Bir #.

Kim seçer # Bir #?

Genel olarak, bir egzersiz hakkında bir şeyler söylerse # Bir # veya # B # veya # C #, bunları başkaları tarafından verilen sabitler olarak kabul ediyoruz.

Bu yüzden bize "nin ürünü # X # ve • y # olduğu #11#'

veya "ürünü # X # ve • y # olduğu #124#'.

Bunların hepsini bir kerede çözeceğiz. # Xy = a # bazı sabitler için # Bir #.

Yani yapmak istiyoruz # Sqrtx + sqrty # mümkün olduğunca küçük tutmak # Xy = a # bazı sabitler için # Bir #.

Bu bir optimizasyon problemi gibi görünüyor ve bir tanesi. Bu yüzden minimize etmek için bir değişkenli fonksiyon istiyorum.

# Sqrtx + sqrty # iki değişken var # X # ve • y #

# Xy = a # ayrıca iki değişkene sahiptir, # X # ve • y # (hatırlamak # Bir # bir sabittir)

Yani #y = a / x #

Şimdi en aza indirmek istiyoruz:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Türevi, ardından kritik sayı (ları) bulun ve kritik sayı (ları) test edin. Bitirmek bulma olmak • y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

kritik # Sqrta #

#f '(x) <0 # için #x <sqrta # ve #f '(x)> 0 # için #x> sqrta #, yani #f (sqrta) # minimumdur.

#x = sqrta # ve #y = a / x = sqrta #

Cevap:

# 2 kök (4) (a) #

Açıklama:

Bunun için biliyoruz #x_i> 0 # sahibiz

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

sonra

# x_1 + x_2 ge 2 m² (x_1 x_2) # sonra

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge2 kökü (4) (x_1x_2) #

fakat # x_1x_2 = a # sonra

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge2 kökü (4) (a) #