Dx / (cos (x) - 1) 'in antiderivatifini nasıl buluyorsunuz?

Cevap:

Bazı eşlenik çarpım yapın, bazı trig uygulayın ve sonuç almak için bitirmek # INT1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Açıklama:

Bu tür sorunların çoğunda olduğu gibi, bir eşlenik çarpma numarası kullanarak çözeceğiz. Ne zaman bir şey artı / eksi bir şey ile bölünmüş bir şey varsa # 1 / (cosx-1) #), her zaman konjugat çarpımını denemek her zaman yardımcı olur, özellikle trig fonksiyonları ile.

Çarparak başlayacağız # 1 / (cosx-1) # eşlenik tarafından # Cosx-1 #, hangisi # Cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Bunu neden yaptığımızı merak edebilirsiniz. Böylece kareler özelliğinin farkını uygulayabiliriz. # (A-b) (a + b) ^ 2-b ^ 2 # =, payda, biraz basitleştirmek için. Soruna dönüş:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (Underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#color (beyaz) (III) 'ün ACOLOR (beyaz) (XXX) bcolor (beyaz) (XXX) ACOLOR (beyaz) (XXX) b #

Bunun esasen nasıl olduğuna dikkat edin # (A-b) (a + b) #.

# = (Cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Şimdi, peki ya # Cos ^ 2x-1 #? Biz biliyoruz # Sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Bunu çarpalım #-1# ve ne aldığımızı görün:

# 1 (sin ^ 2x = 1 Cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = Cos ^ 2-1 #

Şekline dönüştü # -Sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #öyleyse değiştirelim # Cos ^ 2x-1 #:

# (Cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

Bu eşdeğerdir # Cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, bazı triglar kullanarak, aşağı # -Cotxcscx-csc ^ 2x #.

Bu noktada, entegral için basitleştirdik # INT1 / (cosx-1) dx # için # İnt-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. Toplam kuralını kullanarak, bu olur:

# İnt-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

Bunlardan ilki # Cscx # (çünkü türevi # Cscx # olduğu # -Cotxcscx #) ve ikinci # Cotx # (çünkü türevi # Cotx # olduğu # -Csc ^ 2x #). Entegrasyon sabitini ekle # C # ve çözümün var:

# INT1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #