(E ^ x) / (1 + e ^ (2x)) 'nin antiderivatifini nasıl buluyorsunuz?

Cevap:

#arctan (e ^ x) + C #

Açıklama:

# "e ^ x" dx komutunu "d (e ^ x)" olarak yaz, sonra "#

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "yerine y =" e ^ x "gelir," # alırız

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "eşittir" #

#arctan (y) + C #

# "Şimdi geri yerine koy" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Cevap:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Açıklama:

Bulmak istiyoruz # Entegrasyon ^ x / (1 + e ^ (2x)), "d", x = INT1 / (1 + (e ^ x) ^ 2) E ^ x "D" x #

Şimdi izin ver # U = e ^ x # ve böylelikle her iki taraftaki farkı alarak # Du = e ^ Xdx #. Şimdi bu denklemlerin ikisini de almak için integralle değiştiriyoruz.

# INT1 / (1 + u ^ 2), "d" u #

Bu, değerlendiren standart bir integraldir. # Arctanu #. İçin yerine # X # son bir cevap alırız:

#arctan e ^ x + "c" #

Cevap:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Açıklama:

İlk önce, biz izin # U = 1 + e ^ (2x) #. İle ilgili olarak bütünleşmek # U #türevine göre ayrılıyoruz # U #, hangisi # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

İle ilgili olarak bütünleşmek # U #, olarak ifade edilen her şeye ihtiyacımız var # U #bu yüzden ne için çözmemiz gerekiyor # E ^ x # açısından # U #:

# U = 1 + e ^ (2x) #

# E ^ (2x) = u-1 #

# 2x = İn (u-1) #

#, X = 1 / 2LN (u-1) #

# X = İn ((u-1) ^ (1/2)) = İn (sqrt (u-1)) #

# E ^ x = e ^ (ln (SQRT (u-1))) = sqrt (u-1) #

Şimdi bunu integrali tekrar bağlayabiliriz:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

Daha sonra ile bir ikame tanıtacağız # Z = sqrt (u-1) #. Türev:

# (Z) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

biz de onunla bütünleşmek için ayrılırız. • Z (bölmenin, karşılıklı ile çarpma ile aynı olduğunu unutmayın):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Şimdi, bir kez daha yanlış değişkene sahibiz, bu yüzden ne için çözmemiz gerekiyor # U # açısından eşittir • Z:

# Z = sqrt (u-1) #

# U-1 = Z ^ 2 #

# U = z ^ 2 + 1 #

Bu verir:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Bu ortak türevi # Açık kahverengi ^ 1 (z) '#, böylece:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Tüm ikameleri geri aldığımızda, şunu elde ederiz:

# Kahve renkli ^ 1 (z) + C = tan ^ 1 (SQRT (u-1)) + c = #

# = Kahve renkli ^ 1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + c = kahve renkli ^ 1 ((E ^ (2x)) ^ (1/2)) + c = #

# = Kahve renkli ^ 1 (e ^ x) +, C #