Cevap:
Açıklamasına bakınız
Açıklama:
let # A = p / q # nerede # P # ve # Q # pozitif tamsayılar.
# 1ltp / Q # bu nedenle # Qltp #. # P / qlt2 # bu nedenle # Plt2q #. bu nedenle # Qltplt2q #.
# A + 1 / a = p / q + q / p = (s) / (kH-F) + (qq) / (pq) = (p ^ 2 + q ^ 2) / (pq) = (p ^ 2 + 2PQ + q ^ 2-2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) - (2PQ) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) -2 #
# (Q + q) ^ 2 / (qq) LT (p + q) ^ 2 / (pq) LT (2q + q) ^ 2 / (2QQ) #*
# (2q) ^ 2 / q ^ 2 lt (p + q) ^ 2 / (pq) LT (3q) ^ 2 / (2q ^ 2) #
# (4q ^ 2) / Q ^ 2 lt (p + q) ^ 2 / (pq) LT (9q ^ 2) / (2q ^ 2) #
# 4 lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt9 / 2 #
# 4-2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt9 / 2-2 #
# 2 lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt5 / 2 #
# 2lta + 1 / alt5 / 2 #
5. / 2lt6 / 2 #
5. / 2lt3 #
# 2lta + 1 / alt3 #
~~ Gelecekte daha ileri konular ~ ~
* Buna göre # P # artışlar, # (P + q) ^ 2 / (pq) # artışlar. Bu grafikte bakarak, sezgisel olarak doğrulanabilir • y = (x + q) ^ 2 / (XQ) # üzerinde #x in (q, 2q) # çeşitli pozitif değerler için # Q #veya aşağıdaki hesap işlemiyle.
~
# Del / (Delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = 1 / qdel / (Delp) (p + q) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (Delp) (p + q) ^ 2 - (p + q) ^ 2del / (Delp) p) / p ^ 2 = 1 / Q (s 2 (p + q) - (p + q) ^ 2: 1) / p ^ 2 = 1 / q (2p (p + q) - (p + q) ^ 2) / p ^ 2 = ((2p ^ 2 + 2PQ) - (p ^ 2 + 2PQ + q ^ 2)) / (p ^ 2q) = (p ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) #.
üzerinde #p in (q, 2q) #:
Dan beri # Pgtqgt0 #, # P ^ 2gtq ^ 2 # Böylece # P ^ 2-Q ^ 2gt0 #.
Dan beri #Q> 0 #, # P ^ 2qgt0 #
Dan beri # P ^ 2-Q ^ 2gt0 # ve # P ^ 2qgt0 #, # (P ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #
Dan beri # Del / (Delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = (p ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) # ve # (P ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #, # Del / (Delp) (p + q) ^ 2 / (pq) gt0 #
bu nedenle # (P + q) ^ 2 / (pq) # sabit için artıyor # Q # ve # Qltplt2q # Çünkü # Del / (Delp) (p + q) ^ 2 / (pq) # olumlu.
~~~~
Cevap:
Tanımda
Açıklama:
İşte kısıtlama (1):
# 1 <a <2 #
Kısıtlama (2):
Karşılıklı teorem, # 1/1> 1 / a> 1/2 #
# 1> a> 1/2 #
Kısıt 1'de her iki tarafa da 1 ekleyin, # 1 + 1 <a + 1 <2 + 1 #
# 2 <a + 1 <3 #
#color (kırmızı) (a + 1 <3) #
Aynı kısıtlamada 1/2
# (1 + 1/2) <(a + 1/2) '(2 + 1/2) #
Yine unutmayın, #2 <2+1/2#
Yani # A + 1/2 # 2'den az olmalı
#color (kırmızı) (a + 1/2) <2 #
Dolayısıyla Kısıt 2'de, # 1> a> 1/2 #
Her iki tarafa da bir
# 1 + a> a + 1 / a> 1/2 + a #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 #
Öyle yaptık çünkü # A + 1 <3 #
Yani # A + 1 / a # 3'ten küçük olmalıdır
Tekrar # A + 1/2 <2 # ama bu kısıtlamada # a + 1 / a> a + 1/2 #
Yani, # A + 1 / a # 2'den büyük olmalıdır.
Bu nedenle, # 1> 1 / a> 1 2 #
Her iki tarafa da ekleyerek, # 1 + a> a + 1 / a> a + 1/2 #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 # kanıtlanmış
