Soru # e8044

Cevap:

#color (mavi) (int (1 / (1 + karyola x)) dx =) #

#color (mavi) (1/2 * 1 ((tan ^ 2 (x / 2) + 1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / + K2) #

Açıklama:

Verilen #int (1 / (1 + karyola x)) dx #

Bir integrand, trigonometrik fonksiyonların rasyonel bir fonksiyonu ise, ikame # z = tan (x / 2) #veya eşdeğeri

# sin x = (2z) / (1 + z ^ 2) # ve #cos x = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) # ve

# Dx = (2DZ) / (1 + z ^ 2) #

Çözüm:

#int (1 / (1 + karyola x)) dx #

#int (1 / (1 + çünkü x / gün x)) dx #

#int (günah x / (günah x + cos x)) dx #

#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / ((((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2DZ) / (1 + z ^ 2)) #

basitleştirmek

#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / ((((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2DZ) / (1 + z ^ 2)) #

#int (4z) / ((- z ^ 2 + 2z + 1) (z ^ 2 + 1)) * dz #

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz #

Bu noktada, Kısmi Kesirler kullanın ve ardından bütünleştirin.

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) DZ no

Önce kısmi kesirleri yaparız.

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = (Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2- 2z-1) #

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = ((Az + B) (z ^ 2-2z-1) + (Cz + D) (z ^ 2 1)) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Denklemin sağ tarafını genişletin

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) =

# (Az ^ 3-2Az ^ 2-Az + Bz ^ 2-2Bz-B + Cz ^ 3 + Dz ^ 2 + Cz + D) / ((Z ^ 2 + 1) (Z ^ 1 2-2z-)) #

Denklemleri ayarlayın

# (0 * z ^ 3 + 0 * z ^ 2-4 * z + 0 * z ^ 0) / ((Z ^ 2 + 1) (Z ^ 2-2z-1)) = #

# ((A + C) * Z ^ 3 - (+ 2A + B + D) * Z ^ 2 + (- A-2B + C) * z - (+ B + D) * Z ^ 0) / ((Z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Denklemler

# A + C = 0 #

# -2A + B + D = 0 #

# A-2B + C = -4 #

# -B + D = 0 #

Eşzamanlı çözüm sonuçları

# A = 1 # ve # B = 1 # ve # C = -1 # ve # D = 1 #

Şimdi entegrasyonu yapabiliriz

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) dz = int ((z + 1) / (z ^ 2 + 1) + (- z + 1) / (z ^ 2-2z-1)) dz = #

# 1/2 int (2z) / (z ^ 2 + 1) dz + int dz / (z ^ 2 + 1) -1 / 2int (2z-2) / (z ^ 2-2z-1) dz #

# = 1/2 * ln (z ^ 2 + 1) + tan ^ -1 z-1/2 * ln (z ^ 2-2z-1) #

# = 1/2 * 1 ((z ^ 2 + 1) / (z ^ 2-2z-1)) + tan ^ -1 z #

Orijinal değişkenine geri döndüreceğiz # X # kullanma # z = tan (x / 2) # son cevap için.

#color (mavi) (int (1 / (1 + karyola x)) dx =) #

#color (mavi) (1/2 * 1 ((tan ^ 2 (x / 2) + 1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / + K2) #

nerede # K = # entegrasyon sabiti

Tanrı korusun … Umarım açıklama yararlıdır.