Kanıtla: tan ^ 5x = (((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / (((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?

Kanıtlamak

# Tg ^ 5x = ((1 / (1-SiNx) ^ 2) - (1 + SiNx / (1) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-SiNx) ^ 2) - (1 + SiNx / (1) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + SiNx) ^ 2- (1-SiNx) ^ 2) / (1-sin ^ 2x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2x) ^ 2) #

# = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (sin ^ 4x)) #

# = Sin ^ 5x / cos ^ tan 5x = ^ 5x = LHS #

Kanıtlanmış

Bu, sağdan sola çalışmak daha kolay olan kanıtlardan biridir. İle başla:

# ((1 / (1-SiNx) ^ 2) - (1 + SiNx / (1) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

Katıştırılmış kesirlerin pay ve paydalarını "konjugatlar" ile çarpın (ör. # 1pmsinx # üzerinde # 1 sinx #). Bunu anlıyorsunuz, örneğin # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ 2x #.

# = ((((1 + sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx)))) - ((1-sinx) / (((1-sin ^ 2x)) (1 + sinx)))) / (((1 + cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1-cosx))) - ((1-cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1 + cosx))) #

Katıştırılmış kısımlardaki paydayı basitleştirmek için önceki adımı tekrarlayın:

# = ((((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / (((1-sin ^ 2x) ^ 2))) / (((1 + cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) #

Kimlikleri kullanın # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # ve # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # almak:

# = ((((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x))) / ((((1 + cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) - ((1-cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) #

Karşılıkları çoğaltmak için kesirleri birleştir ve çevir:

# = ((((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) / ((((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) / (sin ^ 4x)) #

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) #

Kare terimleri genişletin:

# = (iptal (1) + 2sinx + iptal (sin ^ 2x) - (iptal (1) -2sinx + iptal (sin ^ 2x)))) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (iptal (1)) + 2cosx + iptal (cos ^ 2x) - (iptal (1) -2cosx + iptal (cos ^ 2x))) #

# = (iptal et (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (iptal et (4) cosx) #

# = renk (mavi) (tan ^ 5x) #