# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # biçimindedir • y ^ 2-2y + 1 # nerede #y = x ^ 3 #.
Bu ikinci dereceden formül • y # aşağıdaki gibi faktörler:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #
Yani # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Yani # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# X, ^ 2 + x + 1 # Gerçek katsayıları olan doğrusal faktörlere sahip değildir. Bu bildirimi formda olup olmadığını kontrol etmek için # ax ^ 2 + bx + c #, ayrımcı olan:
#Delta = b ^ 2-4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1-4 = -3 #
Olumsuz olmak, denklem # x ^ 2 + x + 1 = 0 # Gerçek kökleri yoktur.
Cevabı kontrol etmenin bir yolu, yerine bir değer koymaktır. # X # bu her iki taraf için de bir kök değildir ve aynı sonucu elde edip etmediğimize bakın:
Deneyin #, X = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Karşılaştırmak:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
Peki işe yaradı!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # faktörü oldukça kolaydır, çünkü mükemmel bir karedir. Bunu nasıl bilebilirim? Bu formda bir trinomial # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #ve bu formdaki tüm trinomial'ler mükemmel karelerdir.
Bu trinomial mükemmel bir kare # (x ^ 3 - 1) #. İşimi kontrol etmek için geriye doğru çalışacağım:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Yani, bu trinomial faktörleri vardır #1#, # x ^ 3 - 1 #, ve # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Ancak, bana da belirtildiği gibi # (x ^ 3 - 1) # ayrıca faktörleri vardır. Bu formun bir binom olduğundan # a ^ 3 - b ^ 3 #olarak da yazılabilir. # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Yani, # (x ^ 3 - 1) # içine faktörler # (x - 1) # ve # (x ^ 2 + x + 1) #, ikisi de asal olan.
Faktörleri # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # şunlardır:
#1#
# X-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Daha spesifik olarak, # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # geçerli:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
