R = 1 / (4 - costheta) kartezyen forma nasıl dönüştürebilirsiniz?

Cevap:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Açıklama:

Hey, Sokratik: Bize bunun 9 dakika önce sorulduğunu söylemek gerekli mi? Bana yalan söylenmekten hoşlanmam. Bize iki yıl önce sorulduğunu ve henüz kimsenin yapamadığını söyle. Ayrıca, birden fazla yerden sorulan şüpheli birebir ifadeli soruların nesi var? Santa Cruz, Amerika Birleşik Devletleri söz değil mi? Kaliforniya'da bir tanesini iyi duyduğum halde neredeyse kesinlikle birden fazla var. Güvenilirlik ve itibar, özellikle ev ödevlerinde önemlidir. İnsanları yanlış yönlendirmeyin. Son rantı.

Denklemleri kutupsaldan dikdörtgen koordinatlara dönüştürürken, dikdörtgensel kaba kuvveti kutupsal ikamesine dönüştürür

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = metin {arctan2} (y "/," x) dört #

nadiren en iyi yaklaşımdır. (Kasıtlı olarak dört kadranlı ters tanjantı burada belirtiyorum, ama hadi saptırılmayalım.)

İdeal olarak, kutupları dikdörtgen biçimli değişimlerle kullanmak istiyoruz

#x = r çünkü cos #

# y = r günah teta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 çünkü ^ 2 teta + r ^ 2 sin ^ 2 teta = r ^ 2 #

Tamam, soruya bakalım.

# r = 1 / {4 - çünkü cos}

Bu polar denklemler genellikle negatif için izin verir # R #, ama burada eminiz # R # daima olumludur.

#r (4 - cos teta) = 1 #

Bunlar bence gerçekten önemli olmayan elipslerdir, ancak dikdörtgen biçimin nasıl görüneceğini umduğumuz hakkında bize biraz fikir verir. Kökleri veya yayları olmayan bir şeyi hedeflemek istiyoruz | R = {x ^ 2 + y ^ 2} # karekök kare kökleri var, ancak #rcos theta = x # değil, bu yüzden genişleriz.

# 4r - rcos teta = 1 #

Şimdi sadece ikame ediyoruz; adımlarla yapacağız.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Şimdi kare yapalım. Biliyoruz #r> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Bu oldukça dairesel görünümlü bir elips. (Daha küçük bir sabit #4# orijinalinde daha eksantrik bir elips verirdi.) Kareyi standart forma sokmak için tamamlayabiliriz, ama burada bırakalım.