Lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) günah (1 / x)) / x ^ 2 nedir?

Cevap:

#lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) günah (1 / x)) / x ^ 2 = oo #

Açıklama:

let # y = (e ^ (2x) günah (1 / x)) / x ^ 2 #

# LNY = İn ((E ^ (2x) sin (1 / X)) / x ^ 2) #

# LNY = LNE ^ (2x) + ln (sin (1 / X)) - LNX ^ 2 #

# LNY = 2xlne + ln (sin (1 / X)) - 2lnx #

# LNY = 2x + ln (sin (1 / X)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = 2x + ln (günah (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) 2x + ln (günah (1 / x))) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) LNY = oo #

# E ^ LNY = e ^ oo #

• y = oo #

Cevap:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) günah (1 / x)) / x ^ 2 = oo #. Lütfen aşağıdaki açıklama bölümüne bakınız.

Açıklama:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / X)) / x ^ 2 #

Bunu not et: # (e ^ (2x) günah (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * günah (1 / x) / (1 / x) #

Şimdi # Xrarroo #birinci oran sınırlanmadıkça artarken, ikinci oran #1#.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) günah (1 / x)) / x ^ 2 = lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 * lim_ (xrarroo) günah (1 / x) / (1 / x) #

# = oo #

Daha fazla açıklama

İşte yukarıdaki çözüme yol açan akıl yürütme.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / X)) / x ^ 2 # başlangıç formu var # (Oo * 0) / oo #.

Bu belirsiz bir form, ancak 'Hocpital'in Kuralını bu forma uygulayamayız.

Olarak yeniden yazabiliriz. # (E ^ (2x)) / (x ^ 2 / sin (1 / X)) # formu almak için # Oo / oo # 'Hocpital'i uygulayabileceğimiz. Ancak, özellikle bu payda türevini almak istemiyorum.

Hatırlamak #lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 #.

Böylece #lim_ (xrarroo) günah (1 / x) / (1 / x) = 1 #.

Yukarıda kullanılan yeniden yazmayı motive eden şey budur.

# (e ^ (2x) günah (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * günah (1 / x) / (1 / x) #.

Gibi # X # bağlı olmadan artar, # E ^ x # sonsuzluğa çok daha hızlı gider # X ^ 3 # (herhangi bir gücünden daha hızlı # X #).

Yani, # e ^ (2x) = (e ^ x) ^ 2 # daha da hızlı patlar.

Bu gerçeğe sahip değilseniz, almak için l'Hospital kuralını kullanın.

#lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 = lim_ (xrarroo) (2e ^ (2x)) / (3x ^ 2) #

# = lim_ (xrarroo) (8e ^ (2x)) / (6) = oo #