Soru # 35a7e

Cevap:

Aşağıdaki yorumlarda belirtildiği gibi, bu MacLaurin serisidir. #f (x) = cos (x) #ve bunun yakınsadığını biliyoruz. # (- oo, oo) #. Ancak, süreci görmek istiyorsanız:

Açıklama:

Payda bir faktoringe sahip olduğumuz için, oran testi Çünkü bu basitleştirmeleri biraz daha kolaylaştırıyor. Bu formül:

#lim_ (n> oo) (a_, (n + 1) / a_n) #

Eğer bu <1 ise, seriniz yakınsak olur.

Bu> 1 ise, seriniz farklılaşır

Bu = 1 ise, testiniz sonuçsuzdur

Öyleyse şunu yapalım:

#lim_ (k> oo) abs ((-! 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2))) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Not: Telefonunuzu nasıl bağladığınıza çok dikkat edin (k + 1). 2k 2 (k + 1), 2k + 1 DEĞİL olacak.

Muadili ile çarptım # X ^ (2k) / ((2k)!) # işi biraz daha kolaylaştırmak için bölmek yerine.

Şimdi cebir yapalım. Mutlak değer nedeniyle, alternatif terimlerimiz (ör. # (- 1) ^ k #) sadece iptal edeceğiz, çünkü her zaman olumlu bir cevabımız olacak:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

İptal edebiliriz # X, ^ (2k) #'S:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Şimdi faktörleri iptal etmemiz gerekiyor.

Hatırlamak # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Ayrıca, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Uyarı:

# (2k)! = renkli (kırmızı) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * renk (kırmızı) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Gördüğünüz gibi, biz # (2k)! # aslında bir parçası # (2k + 2)! #. Bunu her ortak terimi iptal etmek için kullanabiliriz:

# ((2k)!) / ((2k + 2)!) = İptal et (renkli (kırmızı) ((2k) * (2k-1)) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * iptal (renkli (kırmızı) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Bu yapraklar

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1)))) #

Şimdi bu sınırı değerlendirebiliriz. Not: Bu sınırı # X #, bunu hesaba katabiliriz:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Gördüğünüz gibi, bu sınır = 0, 1'den küçük. Şimdi, kendimize soruyoruz: değeri var mı # X # bu sınır hangisi 1 olacak? Cevap hayır, çünkü 0 ile çarpılan herhangi bir şey 0'dır.

Yani, beri #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # tüm değerleri için # X #, yakınsama aralığı olduğunu söyleyebiliriz. # (- oo, oo) #.

Yardımcı oldu umarım:)