Ikinci dereceden bir fonksiyonun aralığı nedir?

Cevap:

Aralığı #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # geçerli:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "eğer" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "eğer" a <0):} #

Açıklama:

Ikinci dereceden bir işlev verilen:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # ile #a! = 0 #

Bulmak için kareyi tamamlayabiliriz:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Gerçek değerler için # X # kare terimi # (X + B / (2a)) ^ 2 # negatif değil, minimum değerini alarak #0# ne zaman #x = -b / (2a) #.

Sonra:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Eğer #a> 0 # o zaman bu minimum değer #f (x) # ve aralığı #f (x) # olduğu # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Eğer #a <0 # o zaman bu maksimum değer #f (x) # ve aralığı #f (x) # olduğu # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Buna bakmanın başka bir yolu #y = f (x) # ve bir çözüm olup olmadığını görmek # X # açısından • y #.

Verilen:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

çıkarmak • y # iki taraftan da bulmak için:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Ayrımcı #Delta# bu ikinci dereceden denklemin:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Gerçek çözümler için, #Delta> = 0 # ve bu yüzden:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Eklemek # 4ac-b ^ 2 # bulmak için iki tarafa da:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Eğer #a> 0 # o zaman her iki tarafı da basitçe bölebiliriz # 4a # almak:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Eğer #a <0 # o zaman iki tarafa da bölebiliriz # 4a # ve almak için eşitsizliği tersine çevirin:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #