/1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2'nin antiderivatı nedir?

Cevap:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Açıklama:

Yani burada integral var:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

Ve ikinci dereceden karşılıklılık şekli, trigonometrik yer değiştirmenin burada işe yarayacağını gösteriyor gibi görünüyor. Yani önce almak için kareyi tamamlayın:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Ardından oyuncu değişikliği uygulayın #u = x-1 # Doğrusal kaldırmak için:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Böylece istenmeyen yan etkileri olmadan değişkenleri güvenle değiştirebiliriz:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 + 1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Şimdi, bu bir trigonometrik ikame gerçekleştirmek için ideal bir formdur; # u ^ 2 + 1 # Pisagor Kimlik'i önerir # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, bu nedenle değişikliği uygularız #u = tantheta # paydayı basitleştirmek için:

# (du) / (d teta) = sn ^ 2 teta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

Böylece integral şöyle olur:

#int 1 / (sn ^ 2 teta) ^ 2 * sn ^ 2 teta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 teta) d teta #

# - = int cos ^ 2 teta d theta #

Şimdi, çift açılı formülünü kullanıyoruz. # Cos # bu antiderivatifi daha kolay yönetilebilir hale getirmek için:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 teta - 1 #

#hArr cos ^ 2 teta = 1/2 (cos (2 teta) + 1) #

Ardından onu integral içine koyun:

# 1/2 int çünkü (2 teta) + 1 d teta #

# = 1/2 (teta + 1/2 gün (2 teta)) + c # (ve bunu çift açılı formülle yeniden açmak #günah#)

# = 1/2 teta + 1 / 2inthetacostheta + c #

Şimdi, # x-1 = u = tan teta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sn ^ 2 teta #

#rArr çünkü cos = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan teta * cos teta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Son olarak, konuya gelmek:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2artan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #