Sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n yakınsama aralığı nedir?

$Sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n yakınsama aralığı nedir?$

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

Polinom kimliğini kullanma

# (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) #

için var #abs x <1 #

#lim_ (n-> oo) (x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) #

bundan dolayı #x ne k pi, ZZ'deki k # sahibiz

#sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) #

Sum_ yakınsama aralığı nedir? {N = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Ve x = 3'teki toplam nedir?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["x için yakınsama aralığı" "x = 3 yakınsama aralığında değil, bu yüzden x = 3 için toplam" oo "olur. "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "yerine koyarak geometrik bir seri olabilir" Sonra "için" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "var | z | <1 "Yani yakınsama aralığı" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negatif)" "Olumlu durum:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2)

Sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n yakınsama aralığı nedir?

X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Bu toplamı söyleyebiliriz: {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n, r = 1 / (x (1-x)) oranına sahip geometrik bir seridir. Şimdi oranın mutlak değeri 1: | r | <1 iff-1 <r <1'den küçük olduğunda geometrik serilerin yakınsak olduğunu biliyoruz. Bu eşitsizliği çözmeliyiz: 1 / (x (1-x)) <1 ve 1 / (x (1-x))> -1 Birincisi ile başlayalım: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Payların her zaman pozitif olduğunu ve payda’nın olumsuz olduğunu kolayca ispatlayabiliriz. x aralı

Bu güç serisi için Yakınsama Yarıçapı nedir? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Abs z <1 d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = toplam_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k fakat toplamı_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1). Şimdi abs z <1 düşünüldüğünde, sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = 1 / (1 + z) ve int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k olur. dz = log (1 + z) şimdi ikame yapıyor z -> - z biz -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log var (1-z) bu yüzden abs z <1 için yakınsaktır.