Bu güç serisi için Yakınsama Yarıçapı nedir? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Cevap:

#abs z <1 #

Açıklama:

# d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = toplam_ (k = 0) ^ oo (1) ^ kz ^ k #

fakat

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1) #. Şimdi düşünüyor #abs z <1 # sahibiz

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = 1 / (1 + z) # ve

#int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ kdz = log (1 + z) #

şimdi değişiklik yapma #Z -> - z # sahibiz

# -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ kdz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z) #

bu yüzden yakınsak #abs z <1 #