(Arctan (x)) / (x) için güç serisi gösterimini nasıl buluyorsunuz ve yakınsama yarıçapı nedir?

Cevap:

Türevinin güç serilerini bütünleştirmek #arctan (x) # sonra böl # X #.

Açıklama:

Güç serisi gösterimini biliyoruz # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # öyle ki #absx <1 #. Yani # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Yani güç serisi #arctan (x) # olduğu #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- - 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Tarafından bölün # X #, güç serisinin #arctan (x) / x # olduğu #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Diyelimki #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Bu güç serisinin yakınsaklık yarıçapını bulmak için, değerlendiririz. #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Eğer güç serisinin birleşmesini istiyorsak, ihtiyacımız var. #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, yani seri eğer yakınsak #absx <1 #güç serisi temsilinin yakınsama yarıçapı olması şaşırtıcı değildir. #arctan (x) #.