Sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n yakınsama aralığı nedir?

Cevap:

#x içinde (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Açıklama:

Bunu yapabiliriz #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # oranı ile geometrik bir dizi # R = 1 / (x (1-x)) #.

Şimdi oranın mutlak değeri 1'den küçük olduğunda geometrik serilerin birleştiğini biliyoruz:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Dolayısıyla bu eşitsizliği çözmeliyiz:

# 1 / (x (1-x)) <1 ve 1 / (x (1-x))> -1 #

İlkiyle başlayalım:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 #

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Payın her zaman pozitif olduğunu ve paydanın aralıkta negatiftiğini kolayca kanıtlayabiliriz. #x içinde (-oo, 0) U (1, oo) #.

Yani bu bizim ilk eşitsizliğimizin çözümü.

İkincisini görelim:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 iff (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

Bu eşitsizlik aralığın çözümünü sağlamıştır:

#x içinde (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Böylece serimiz, bunun her ikisinin de aralıklarla doğru olduğu yerde birleşir.

Dolayısıyla yakınsama aralığımız:

#x içinde (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #