Sınıfta 7 çocuk var. Kaç yönden tatil için sıraya girebilirler?

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

Bu özel problem bir permutasyon. Hatırlama, permütasyonlar ve kombinasyonlar arasındaki fark, permutasyonlarla siparişin önemli olduğudur. Bu sorunun öğrencilerin kaçıncı sıraya girebileceğini (yani kaç farklı emir) sıraladığını sorduğu göz önüne alındığında, bu bir permütasyondur.

Sadece iki pozisyonu, pozisyon 1 ve pozisyon 2'yi doldurduğumuz anı hayal edin. Öğrencilerimiz arasında ayrım yapmak için, çünkü sipariş önemlidir, her birine A'dan G'ye bir harf atayacağız. Bir zamanlar, ilk pozisyonu doldurmak için yedi seçeneğimiz var: A, B, C, D, E, F ve G. Ancak, bu pozisyon dolduğunda, ikincisi için sadece altı seçeneğimiz var, çünkü öğrenciler zaten yerleştirildi.

Örnek olarak, A'nın 1 konumunda olduğunu varsayalım. O zaman iki pozisyonumuz için olası emirlerimiz AB'dir (örneğin, 1'de A ve 2'de B), AC, AD, AE, AF, AG. Ancak … buradaki olası tüm siparişleri hesaba katmaz, çünkü ilk pozisyon için 7 seçenek vardır. Böylece, eğer B pozisyon 1'de olsaydı, BA, BC, BD, BE, BF ve BG olasılıkları olurdu. Böylece seçenek sayılarımızı birlikte çarpıyoruz: #7*6 = 42#

Başlangıçtaki soruna baktığımızda, 1. sıraya yerleştirilebilecek 7 öğrenci var (yine 1. sıraları 7 ile doldurduğumuzu varsayıyoruz). 1. pozisyon doldurulduktan sonra 6 öğrenci 2. pozisyona yerleştirilebilir. 1. ve 2. pozisyonlarla, 5, 3. sıraya yerleştirilebilir, vb., Yalnızca bir öğrenci en son sıraya yerleştirilinceye kadar. Böylece seçenek sayımızı bir araya getirip çoğaldık, #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

Daha genel bir formül için permütasyon sayısını bulmak # N # alınan nesneler # R # zamanında, Değiştirmeden (diğer bir deyişle, 1. pozisyondaki öğrenci bekleme alanına geri dönmez ve 2. pozisyon için bir seçenek haline gelir), aşağıdaki formülü kullanma eğilimindeyiz:

Permütasyon sayısı = # "N!" / "(N-r)!" #.

ile # N # Nesnelerin sayısı # R # doldurulacak pozisyon sayısı ve #!# sembolü faktöryelnegatif olmayan bir tamsayıya etki eden bir işlem # Bir # öyle ki #a! # = #atimes (a-1) kez (a-2) kez (a-3) kez … kez (1) #

Dolayısıyla, formülümüzü orijinal problemle birlikte kullanarak, her seferinde 7 öğrencinin 7 ders almasını sağladık (örneğin, 7 pozisyon doldurmak istiyoruz),

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

Karşı sezgisel görünebilir ki #0! = 1#; Ancak, bu gerçekten böyle.