Her biri M kütlesi ve L uzunluğu olan üç çubuk, bir eşkenar üçgen oluşturmak için bir araya getirilir. Bir sistemin kütle merkezinden geçen ve üçgenin düzlemine dik olan bir Eksen için atalet momenti nedir?

Cevap:

# 1/2 ML ^ 2 #

Açıklama:

Tek bir çubuğun merkezden geçen ve ona dik olan bir eksen etrafındaki atalet momenti

# 1/12 ML ^ 2 #

Eşkenar üçgenin her iki tarafının, üçgenin merkezinden geçen ve düzlemine dik olan bir eksen etrafında olduğu

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(paralel eksen teoremi ile).

Bu eksen etrafında üçgenin atalet momenti o zaman

# 3 kez 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Çubukların ince olduğu varsayılarak, her bir çubuğun kütle merkezinin konumu, çubuğun merkezindedir. Çubuklar eşkenar bir üçgen oluşturduğundan, sistemin kütle merkezi üçgenin merkezinde olacaktır.

let # D # herhangi bir taraftan centroidin uzaklığı olabilir.

# G / (L / 2) = tan30 #

# => D = L / 2tan30 #

# => D = L / (2sqrt3) # …..(1)

Paralel ekseni kullanan üçgenin düzlemine dik centroid içinden geçen eksen etrafında tek bir çubuğun atalet momenti;

#I_ "çubuğu" = I_ "cm" + Kırmızı ^ 2 #

Benzer şekilde yerleştirilmiş üç çubuk vardır, bu nedenle üç çubuğun atalet momenti

#I_ "sistem" = 3 (I_ "cm" + Kırmızı ^ 2) #

# => I_ "sistem" = 3I_ "cm" + 3MD ^ 2 # …….(2)

İkinci terim (1) kullanarak

# 3MD ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Bir çubuğun atalet momenti olarak kütle merkezi

#I_ "cm" = 1/12 ml ^ 2 #

(2) deki ilk terim

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12 ml ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # ….(4)

(3) ve (4) 'ü kullanarak denklem (2),

#I_ "sistem" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 kgm ^ 2 #