F: R'den R'ye tanımlanmış yükselme olsun. f (x) = f ^ -1 (x) çözümünü bul?

Cevap:

# f (x) = x #

Açıklama:

Bir işlev arıyoruz #f: RR rarr RR # öyle bir çözüm #f (x) = f ^ (- 1) (x) '#

Bu, kendi tersi olan bir fonksiyon ararız. Bu bariz bir işlev açık bir önemsiz çözümdür:

# f (x) = x #

Bununla birlikte, sorunun daha ayrıntılı bir analizi, Matematik Öğretmenleri Derneği Dergisi'nde yayımlanan Ng Wee Leng ve Ho Foo Him tarafından araştırıldığı gibi önemli bir karmaşıklığa sahiptir.

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

Cevap:

Aşağıyı kontrol et.

Açıklama:

Arasında ortak noktalar # C_f # ve #C_ (f ^ (- 1)) # eğer varlarsa her zaman bisector'de değillerdir # Y = x #. İşte böyle bir fonksiyonun bir örneği: #f (x) = 1-x ^ 2 # #color (beyaz) (a) #, # X ##içinde## 0, + oo) '#

grafik {((y- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7.02, 7.03, -5.026, 1.994}

Ancak bunlar yalnızca bisuter'dadır ve yalnızca # F # olduğu # # artan.

Eğer # F # o zaman kesinlikle artıyor #f (x) = f ^ (- 1) (x) '# #<=># #f (x) x # =

Eğer # F # kesinlikle artıyorsa ortak noktaları denklem sistemini çözerek buluyorlar

# {(y = f (x) ""), (x = f ^ (- 1) (y) ""):} # #<=># # {(y = f (x) ""), (x = f (y) ""):} # #<=>…#

Cevap:

#f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> X = 1 #

Açıklama:

#f (x) = x ^ 3 + x-1 # #color (beyaz) (aa) #, # X ##içinde## RR #

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # #color (beyaz) (aa) #, # AA ## X ##içinde## RR #

yani # F # olduğu # # içinde # RR #. Kesinlikle monoton bir işlev olarak da "#1-1#"Bire bir fonksiyon olarak tersine sahiptir.

Denklemi çözmemiz gerekiyor #f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> ^ (F) f (x) x # = #<=>#

# X, ^ 3 + a-1 = x # #<=># # X, ^ 3-1 = 0 # #<=>#

#, (X-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 # # <=> ^ (X ^ 2 + x +> 0 1) #

#, X = 1 #