Bir hesap makinesinin çözme işlevini kullanmadan denklemi nasıl çözebilirim: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Cevap:

Sıfırlar #, X = 5 #, # X = -2 #, #, X = 1 + -sqrt (2) i #

Açıklama:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Bize söylendi #, (X-5) # bir faktördür, bu yüzden ayırın:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

Bize söylendi # (X + 2) # Aynı zamanda bir faktördür, yani şunu ayırın:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

Kalan ikinci dereceden faktörün ayırımcı negatiftir, ancak Karmaşık kökleri bulmak için ikinci dereceden formülü kullanabiliriz:

# X ^ 2-2x + 3 # şeklinde # Ax ^ 2 + bx + c # ile # A = 1 #, # B = -2 # ve # C = 3 #.

Kökleri ikinci dereceden formülle verilmiştir:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + - kısa (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + - 2 (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Bunu bilmeden deneyelim #, (X-5) # ve # (X + 2) # faktörler.

Sabit terim, kök ürüne eşittir

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Bu katsayı, faktörleri olan bir tam sayıdır # pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Bu değerleri denediğimizi görebiliriz.

#p (-2) = p (5) = 0 # iki kök elde etmek.

Polinomu şu şekilde temsil edebiliriz:

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Sağ tarafın hesaplanması ve her iki tarafın karşılaştırılması

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

11. = -10a-3b #

# -30 = -10b #

İçin çözme # (A, b) # alırız # A = -2, b = 3 #

Köklerinin değerlendirilmesi # X ^ 2-2x + 3 = 0 # alırız # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #