Eğer varsa f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 olan yerel ekstrema nedir?

Cevap:

Paraboller tam olarak bir ekstremaya sahiptir, tepe noktasıdır.

Bu #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Dan beri # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # her yerde işlev her yerde içbükeydir ve bu nokta minimum olmalıdır.

Açıklama:

Parabolün tepe noktasını bulmak için iki köken var: birincisi, türevi sıfır bulmak için matematik kullanın; iki, hesap ne pahasına olursa olsun kaçının ve sadece kare tamamlayın. Uygulama için hesabı kullanacağız.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #Bunun türevini almak zorundayız.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Türevinin doğrusallığı ile biz

# {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Güç kuralını kullanarak, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # sahibiz

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Kritik noktaları bulmak için bunu sıfıra ayarladık, yerel ve küresel minima ve maksima ve bazen de çarpma noktalarında sıfır türevleri var.

# 0 = 2x + 9 # #=># #, X = -9/2 #,

bu yüzden kritik bir noktamız var #, X = -9/2 # veya #-4 1/2#.

Girdiğimiz kritik noktanın y koordinatını bulmak için #, X = -9/2 # işleve geri dön

#f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Kritik nokta / tepe noktası #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Bunu biliyoruz çünkü #a> 0 #, bu bir maksimumdur.

Bir maxima mı yoksa minima mı olduğunu resmi olarak bulmak için ikinci türev testini yapmamız gerekir.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

İkinci türev tüm x değerlerinde 2'dir. Bu, her yerde sıfırdan büyük olduğu ve işlev her yerde içbükey olduğu anlamına gelir (bu bir parabol #a> 0 # sonuçta), bu yüzden ekstrema minimum, tepe olmalıdır.