Nazikçe bunu çözmek? Hangi seçenek doğru?

Bu kolayca temel araçların yapamadığı görülüyor, bu yüzden sayısal olarak çözdüm ve aldım:

İntegrali için değerlendirdim #n = 1, 1,5, 2,.., 9,5, 10, 25, 50, 75, 100 #. O zamana kadar açıkça ulaşıyordu #0.5#.

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

veya

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Şimdi cevaplardan birinin doğru olduğunu varsayarsak, en doğal olan dördüncü 4 gibi görünüyor.

NOT

için 0,1 # #x #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) 1/2

Cevap:

#1/2#

Açıklama:

Daha önce bir çözümde gösterildiği gibi, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

var ve sınırlı:

# 1/2 le I_n <1 #

Şimdi parça verimiyle entegrasyon

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n kez (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Şimdi beri # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # içinde #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2)) #

Dan beri #lim_ (ns oo) I_n # var, biz var

#lim_ (n ila oo) J_n = lim_ (n ila oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n ila oo) 2 / (n + 2) kat lim_ (n ila oo) I_ (n + 2) = 0 #

bundan dolayı

# lim_ (n = oo) I_n = 1/2 #