Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Beklenti değerini hesapla daha sonra herhangi bir zamanda t = t_1, phi_n, sonsuz potansiyelin enerji özfonksiyonlarıdır. Cevabı E_0 olarak mı yazın?

İyi, anladım # 14 / 5E_1 #… ve seçtiğiniz sisteme göre, yeniden ifade edilemez. # E_0 #.

Bu soruda kırılmış çok fazla kuantum mekaniği kuralı var …

• # Phi_0 #, sonsuz potansiyel kuyu çözümleri kullandığımızdan, otomatik olarak kayboluyor … #n = 0 #, yani #sin (0) = 0 #.

Ve bağlam için, izin verdik #phi_n (x) = sqrt (2 / L) günah ((npix) / L) #…

• Bu imkansız cevapları açısından # E_0 # Çünkü #n = 0 # Sonsuz potansiyel için iyi değil. Parçacığın istemediği sürece tarihe karışmak , Açısından yazmalıyım # E_n #, #n = 1, 2, 3;.. #…

• Enerji hareketin sabitidir, yani. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Peki şimdi…

#Psi_A (x, 0) = 1 / m²3 sqrt (2 / L) günah ((pix) / L) + 1 / sqrt2 m2 (2 / L) günah ((2pix) / L) #

Beklenti değeri hareketin sabitidir, bu yüzden saatin kaç olduğu umurumda değil # T_1 # Biz seciyoruz. Aksi takdirde, bu muhafazakar bir sistem değildir …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # bazı #n = 1, 2, 3;.. #

Aslında, ne olması gerektiğini zaten biliyoruz, çünkü bir boyutlu sonsuz potansiyel için iyi bir Hamiltonian zamana bağımlıdır …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

ve # (E ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # İntegralde 1'e gidin:

#color (mavi) (<< E >>) = (1/3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

izin verdiğimiz yer #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Yine, tüm faz faktörleri iptal edilir ve köşegen dışı terimlerin ortogonalitesi nedeniyle sıfıra gittiğini not ederiz. # Phi_n #.

Payda normudur # Psi #, hangisi

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Bu nedenle, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Bu verir:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) günah ((pix) / L) iptal et (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) günah ((pix) / L) iptal et (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) günah ((2pix) / L) iptal et (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) günah ((2pix) / L) iptal (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Türevleri uygulayın:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) günah ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 günah ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) günah ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

Sabitler yüzer:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) günah ((pix) / L) günah ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) günah ((2pix) / L) günah ((2pix) / L) dx #

Ve bu integral, fiziksel nedenlerden dolayı yarıya kadar olduğu bilinmektedir. #0# ve # L #, dan bağımsız # N #:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = renk (mavi) (14/5 E_1) #

Cevap:

# <E> = 1/6 E_0 + 1/3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Açıklama:

Enerji özdeğerlerine karşılık gelen her durağan durum # E_n # bir faz faktörü alır #e ^ {- iE_n t} # zamanında evrim. Verilen durum değil Durağan bir durum - çünkü farklı özdeğerlere ait enerji eigenstatlarının üst üste binmesi. Sonuç olarak, zaman içinde önemsiz bir şekilde gelişecektir. Bununla birlikte, devletlerin zaman evrimini düzenleyen Schroedinger denklemi doğrusaldır - böylece her bir bileşen enerji özfonksiyonu bağımsız olarak gelişir - kendi faz faktörünü alır.

Yani, başlangıç dalga fonksiyonu

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

zamanla gelişir # T # için

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / }t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- i_1 /} t} + sqrt (1) / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Böylece, zamandaki enerji beklentisi değeri # T # tarafından verilir

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) şapka {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 /} t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) şapka {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 /} t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) kez (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

bu gerçeği kullandığımız yerlerde #phi_i (x) # enerji özfonksiyonlarıdır, öyle ki #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Bu hala bize dokuz terim veriyor. Ancak, nihai hesaplama, enerji özfonksiyonlarının orto-normalize olması gerçeğiyle çok basitleştirilmiştir, diğer bir deyişle itaat ederler

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Bu, dokuz integralden yalnızca üçünün hayatta kalacağı anlamına geliyor.

# <E> = 1/6 E_0 + 1/3E_1 + 1/2 E_2 #

Bu standart sonucu kullanarak #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, sahibiz # E_1 = 4E_0 # ve # E_2 = 9E_0 # Sonsuz bir potansiyel için (daha fazla şey söyleyen bir ifadeye alışkın olabilirsiniz) #E_n propto n ^ 2 # sonsuz bir kuyu için - ancak bunlarda temel durum etiketli # E_1 # - işte onu etiketliyoruz # E_0 # - bu yüzden değişim). Böylece

# <E> = (1/6 kez 1 + 1/3 kez 4 + 1/2 kez 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Not:

1. Bireysel enerji özfonksiyonları, bir faz faktörü alarak zamanla gelişirken, genel dalga fonksiyonu değil ilk olandan sadece bir faz faktörü ile farklılık gösterir - bu yüzden artık durağan bir durum değildir.
2. Katılan integraller gibiydi

   # int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- ıE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / }t} kez int_-infty infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

   ve bunlar zamana bağlı görünüyorlar. Ancak, hayatta kalan tek integraller # İ = j # - ve bunlar tam olarak zamana bağlılığın iptal ettiği zamanlar.

3. Son sonuçlar gerçeğe uyar #hat {lH} # korunur - devlet sabit bir devlet olmasa da - enerji beklentisi değeri zamandan bağımsızdır.
4. Orijinal dalga fonksiyonu zaten normalize edilmiştir. # (sqrt {1/6)) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # ve bu normalleşme zaman evriminde korunur.
5. Standart bir kuantum mekanik sonucunu kullanmış olsaydık, çok fazla çalışmayı kesebilirdik - eğer bir dalga fonksiyonu biçiminde genişlerse #psi = sum_n c_n phi_n # nerede # Phi_n # Hermitian operatörünün özfonksiyonları #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, sonra # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #Tabii ki, devletlerin uygun şekilde normalleştirilmesi şartıyla.