Standart normal dağılımın varyansı nedir?

Cevap:

Aşağıya bakınız. Standart normal, normal ayardır ki #mu, sigma = 0,1 # bu yüzden sonuçları önceden biliyoruz.

Açıklama:

Standart normal için PDF: #mathbb P (z) = 1 / sqrt (2 pi) e ^ (- z ^ 2/2) #

Ortalama değeri var:

# mu = int _ (- oo) ^ (oo) dz z mathbb P (z) = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz ze ^ (- z ^ 2/2) #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) d (- e ^ (- z ^ 2/2)) #

# = 1 / sqrt (2 pi) e ^ (- z ^ 2/2) _ (oo) ^ (- oo) = 0 #

Bunu takip eder:

# Var (z) = int _ (- oo) ^ (oo) dz (z - mu) ^ 2 matematik P (z) #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz z ^ 2 e ^ (- z ^ 2/2) #

Bu sefer IBP kullanın:

# Var (z) = -1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) d (e ^ (- z ^ 2/2)) z #

# = - 1 / sqrt (2 pi) (ze ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) - int _ (- oo) ^ (oo) dz e ^ (- z ^ 2/2)) #

# = - 1 / sqrt (2 pi) (ze ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) - int _ (- oo) ^ (oo) dz e ^ (- z ^ 2/2)) #

Çünkü # z e ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) = 0 #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz e ^ (- z ^ 2/2) #

Bu integral iyi bilinmektedir. Bir kutup alt kullanılarak yapılabilir, ancak burada sonuç belirtilmiştir.

# Var (z) = 1 / sqrt (2 pi) sqrt (2 pi) = 1 #