Hesap makinesini kullanmadan cos (pi / 5) değerini nasıl değerlendirebilirim?

Hesap makinesini kullanmadan cos (pi / 5) değerini nasıl değerlendirebilirim?
Anonim

Cevap:

Cos (# Pi # / 5) = cos 36 ° = (# Sqrt #5 + 1)/4.

Açıklama:

Eğer # Teta # = # Pi #/ 10, ardından 5# Teta # = # Pi #/2 #=># Cos3# Teta # = sin2# Teta #. cos (# Pi # /2 - #alfa#) = günah#alfa#}.

#=># 4# cos ^ 3 # # Teta # - 3co# Teta # = 2sin# Teta #marul# Teta ##=># 4 # Cos ^ 2 ## Teta # - 3 = 2 günah # Teta #.

#=># 4 (1 - # Sin ^ 2 # # Teta #) - 3 = 2 günah# Teta #. #=># 4# Sin ^ 2 # # Teta #+ 2sin# Teta # - 1 = 0#=>#

günah# Teta # =(# Sqrt # 5 - 1) /4.

Şimdi 2 çünkü# Teta # = cos # Pi #/5 = 1 - 2# Sin ^ 2 # # Teta #, sonucu verir.

Cevap:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Açıklama:

let #a = cos (pi / 5) #, #b = cos (2 * pi / 5) #. Böylece #cos (4 * pi / 5) = -a #. İki açılı formüllerden:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

Çıkarma, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# A + b # Her iki terim de pozitif olduğu için sıfır değildir. # A-b # olmalıdır #1/2#. Sonra

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

ve tek olumlu kök

#a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Ve #b = cos (2 * pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.