Sqrt (9-x ^ 2) integrali nedir?

Ne zaman bu tür işlevler görsem, burada özel bir ikame kullanmanız gerektiğini (çok pratik yaparak) kabul ediyorum:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

Bu garip bir oyuncu değişikliği gibi görünebilir, ancak bunu neden yaptığımızı göreceksiniz.

#dx = 3cos (u) du #

İntegraldeki her parçayı değiştirin:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

İntegralin üçünü getirebiliriz:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

9'u çarpanlara ayırabilirsiniz:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Kimliği biliyoruz: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Eğer çözersek # Cosx #, anlıyoruz:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

İntegralde gördüğümüz tam olarak bu, bu yüzden onun yerini alabiliriz:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Bunu temel bir antiderivatif olarak biliyor olabilirsiniz, ancak bunu yapmazsanız, şöyle çözebilirsiniz:

Kimlik kullanıyoruz: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (Bunu ikame ederek çözebilirsiniz)

# 9/2 u + 9/4 günah (2u) + C #

Şimdi tek yapmamız gereken şey koymak # U # fonksiyona. Nasıl tanımladığımıza bakalım:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = günah (u) #

Almak # U # bunun dışında, ters fonksiyonunu almanız gerekir. #günah# iki tarafta da, bu # Arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Şimdi çözümümüze eklememiz gerekiyor:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 günah (2arcsin (x / 3)) + C #

Bu son çözüm.