(0, 0, 8) ve (9, 2, 0) arasındaki mesafe nedir?

Cevap:

Mesafe #sqrt (149) #

Açıklama:

İki nokta arasındaki mesafe

# (x_1, y_1, z_1) #

ve

# (x_2, y_2, z_2) #

içinde # RR ^ 3 # (üç boyut) tarafından verilir

# "mesafe" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Eldeki soruna uygulayarak arasındaki mesafeyi alırız #(0, 0, 8)# ve #(9, 2, 0)# gibi

# "mesafe" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

Aşağıdaki, mesafe formülünün nereden geldiğine dair bir açıklamadır ve yukarıdaki çözümü anlamak için gerekli değildir.

Yukarıda verilen mesafe formülü, içindeki mesafe formülüne şüpheyle benziyor # RR ^ 2 # (İkili boyutlar):

# "mesafe" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Pisagor teoreminin basit bir uygulamasından geliyor, iki nokta arasına dik bir üçgen çizerek # X # ve • y # eksenleri.

Çıkıyor # RR ^ 3 # sürüm benzer şekilde elde edilebilir. İki nokta bağlamak için (en fazla) 3 satır kullanırsak, # X #, • y #, ve • Z eksenler, köşeleri zıt köşeleri olan bir kutu alırız. Öyleyse kutunun köşegenindeki mesafeyi nasıl hesaplayacağımızı bulalım.

Kırmızı çizginin uzunluğunu anlamaya çalışıyoruz #color (kırmızı) (AD) #

Bu üçgenin hipotenüsü olduğu için # ABD #, Pisagor teoreminden:

# (renkli (kırmızı) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (renkli (mavi) (BC)) ^ 2 #

# => renk (kırmızı) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (renk (mavi) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Ne yazık ki, bizim uzunluğu #color (mavi) (BD) # verilen olarak. Bunu elde etmek için, Pisagor teoremini tekrar uygulamalıyız, bu kez üçgene # BCD #.

# (renkli (mavi) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Sadece kareye ihtiyacımız olduğu gibi #color (mavi) (BD) #, şimdi değiştirebiliriz # ("II") # içine #("ben")#:

#color (kırmızı) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Sonunda, eğer varsa # A # en # (x_1, y_1, z_1) # ve # D # en # (x_2, y_2, z_2) #, o zaman uzunlukları var

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Bunları yukarıdakilerin içine koymak bize istenen sonucu verir.

Ek bir not olarak, 3 boyutta yalnızca kolayca geometrik provalar yapabilsek de matematikçiler, # RR ^ n # (# N # boyutlar). Arasındaki mesafe

# (x_1, x_2, …, x_n) # ve # (y_1, y_2, …, y_n) # olarak tanımlanır

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

hangi desenle eşleşir # RR ^ 2 # ve # RR ^ 3 #.