İnte ^ xcosxdx için nasıl çözülür?

Cevap:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (günah (x) + cos (x)) + C #

Açıklama:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Bütünleşmeyi, parçaları belirten parçalarla kullanacağız. #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Entegrasyonu parçalarla kullanın # U = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = çünkü (x) "d" x #, ve # V = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Parçalarla tekrar entegrasyonu tekrar ikinci integrale kullanın, # U = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = günah (x) "d" x #, ve # V = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

Şimdi tanımladığımızı hatırlayın # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. Böylece, yukarıdaki denklem şöyle olur (bir entegrasyon sabiti eklemeyi hatırlayarak):

# I = E ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

De Moivre kimliğini kullanma

# e ^ (ix) = çünkü x + i günah x # sahibiz

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

fakat #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

ve sonunda

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #