Çizginin normal x x (15pi) / 8 değerinde f (x) = sn ^ 2x-xcos (x-pi / 4) teğet çizgisine olan eğimi nedir?

Cevap:

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

Etkileşimli grafik

Açıklama:

Yapmamız gereken ilk şey hesaplamak. #f '(x) # en #x = (15pi) / 8 #.

Bu terimi terim olarak yapalım. İçin # Sn ^ 2 (x) # terim, birbirimize gömülü iki işleve sahip olduğumuzu unutmayın: # X ^ 2 #, ve #sec (x) #. Yani burada bir zincir kuralı kullanmamız gerekecek:

# d / dx (sn (x)) ^ 2 = 2 sn (x) * d / dx (sn (x)) #

#color (mavi) (= 2sn ^ 2 (x) tan (x)) #

2. dönem için bir ürün kuralı kullanmamız gerekir. Yani:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = renk (kırmızı) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + renk (kırmızı) (d / dxcos (x-pi / 4))) (x) #

#color (mavi) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Bu kısım için neden bir zincir kuralı kullanmadığımızı merak edebilirsiniz. # (x - pi / 4) # kosinüsün içinde. Cevap, örtük bir şekilde yaptığımız, ancak bunu görmezden geldik. Türevine dikkat edin # (x - pi / 4) # basitçe 1 mi? Bu nedenle, bunu çarpmak hiçbir şeyi değiştirmez, bu yüzden hesaplamalara yazmayız.

Şimdi her şeyi bir araya getirdik:

# d / dx (sn ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = renk (menekşe) (2s ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

İşaretlerine dikkat et.

Şimdi, teğet hattının eğimini bulmalıyız. #f (x) # en #x = (15pi) / 8 #. Bunu yapmak için, sadece bu değeri taktık #f '(x) #:

#f '((15pi) / 8) = (2sn ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = renk (menekşe) (~ ~ -6.79) #

Ancak, istediğimiz şey f (x) 'e doğru teğet çizgi değil, çizgidir. normal ona. Bunu elde etmek için yukarıdaki eğimin negatif karşılığını alırız.

#m_ (norm) = -1 / -15.78 renkli (menekşe) (~~ 0.015) #

Şimdi her şeyi nokta eğim formuna sığdırıyoruz:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

Neye benzediğini görmek için bu etkileşimli grafiğe bir göz atın!

Yardımcı oldu umarım:)