Saat 10'da, sıcaklık 40 ° F olan bir depoda bir ceset bulundu. Doktor, vücut sıcaklığının 80 ° F olduğunu tespit etti. Yaklaşık ölüm süresi neydi?

Cevap:

Yaklaşık ölüm zamanı #8:02:24# duyuyorum.

Bunun vücudun cilt sıcaklığı olduğuna dikkat etmek önemlidir. Doktor, çok daha yavaş düşecek olan iç sıcaklığı ölçüyor olacaktı.

Açıklama:

Newton'un soğutma yasası, sıcaklık değişim hızının, ortam sıcaklığıyla orantılı olduğunu belirtir. yani

# (dT) / (dt) destek T - T_0 #

Eğer #T> T_0 # Daha sonra vücut soğumalıdır, böylece türev negatif olmalıdır, bu yüzden orantılılığı sabit olarak yerleştiririz ve

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Braketi çarpar ve ilgili şeyleri değiştiririz:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Şimdi ODE'lerin çözümünde birleştirici faktör yöntemini kullanabilir.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

İki tarafı da çarp #I (x) # almak

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Ürün kuralını kullanarak LHS'yi yeniden yazabileceğimize dikkat edin:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Her iki tarafı da birbirine entegre et # T #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Bölünür # E ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Ortalama insan vücudunun sıcaklığı # 98.6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98,6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

# C basitleştirir = 58.6 #

let # T_f # vücudun bulunduğu zaman olun.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58.6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58.6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / k #

#t_f = -1 (40 / (58.6)) / (0.1947) #

#t_f = 1.96 saat #

Öyleyse, ölüm anında, bedenin derhal soğumaya başladığı varsayılarak, bu noktada 80 ° F'ye ulaşması 1.96 saat sürdü.

# 1.96 saat = 117.6dk

Yaklaşık ölüm zamanı #8:02:24# ben