F (x) = 2 sin (3x) + x'in ilk türevini nasıl bulabilirim?

Cevap:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Açıklama:

Her terimi ayırt edin:

# (D (x)) / dx = 1 #

İkinci terim için zincir kurallarını kullanarak şunları yaptık:

#g (x) = h (k (x)) => gr '(x) = K' (x) 'h', (k (x)) #

İle:

# sa (u) = 2sin (u) => h ', (u) = 2cos (u) #

#K (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#g (x) = 2sin (3x) => gr '(x) = 6cos (3x) #

Birlikte biz var:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Cevap:

Türevini bulmamız isteniyor #f (x) = 2sin (3x) + x # tanımı kullanarak: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + s) - f (x)) / (s) #.

Açıklama:

Değerlendirmemiz gerekiyor:

#lim_ (hrarr0) (üst üste binme (2sin (3 (x + s))) + (x + s)) ^ (f (x + s)) - üst üste çıkma (2sin (3x) + x) ^ f (x)) / h #.

Bu hantal olacak. Daha az karmaşık görünmesi için, ifadeyi iki daha basit bölüme ayıralım. Trigonometrik kısmı ve doğrusal kısmı ayrı ayrı alacağız.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

İkinci limitin olduğunu gösterebileceğinizi varsayacağım. #1#. Daha zor olan sınır, trigonometrik fonksiyonları içeren sınırdır.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (günah (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (aşırı saldırmak ((sin3xcos3h + cos3xsin3h))) ^ sin (3x + 3h) - sin3x) / s #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x-sin3x + cos3xsin3x) / saat #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

# = 2 (lim_ (hrarr0) sin3x) (3lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) + (lim_ (hrarr0) cos3x) (3lim_ (hrarr0) (sin3h) / (3h)) #

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Böylece iki parçayı bir araya getirdiğimizde, şöyle olur:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #