İki uydu P_ "1" ve P_ "2" yarıçapı R ve 4R'nin yörüngelerinde dönmektedir. P_ "1" ve P_ "2" 'ye katılan hattın maksimum ve minimum açısal hızlarının oranı ??

Cevap:

#-9/5#

Açıklama:

Kepler'in üçüncü yasasına göre, # T ^ 2 propto R ^ 3 omega propto anlamına gelir R ^ {- 3/2} #Dış uydunun açısal hızı, #omega#, iç olan #omega times (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Bir düşünelim # T = 0 # İki uydu ana gezegenle aynı seviyeye geldiğinde bir an olmak ve bu ortak çizgiyi bize # X # eksen. Sonra, o zaman iki gezegenin koordinatları # T # Hangi # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # ve # (4R cos (omega t), 4R günah (omega t)) #, sırasıyla.

let # Teta # iki uyduyu birleştiren çizginin, # X # eksen. Bunu görmek kolaydır

#tan teta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Farklılaşma verimi

# sn ^ 2 teta (dta) / dt = d / dt (4 gün (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2 kez #

#qquad (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 günah (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega günah (omega t) +8 omega günah (8 omega t)) #

Böylece

# (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega) t))) ^ 2 (d teta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 gün ^ 2 (omega t) -9 gün (omega t) çünkü (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)) #

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) şu anlama gelir: #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d teta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t));

# (dtata) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 -8 cos (7 omega t)), eşdeğer 12 omega f (cos (7 omega t)) #

İşlev nerede

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

türevi var

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

ve dolayısıyla monoton aralıkta azalıyor #-1,1#.

Böylece açısal hız # (d teta) / dt # ne zaman maksimum #cos (7 omega t) # minimumdur ve tersi de geçerlidir.

Yani, # ((dta) / dt) _ "maks" = 12 omega (2 - 3 kez (-1)) / (17-8 kez (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega çarpı 5/25 = 12/5 omega #

# ((dta) / dt) _ "dak" = 12 omega (2 - 3 kez 1) / (17-8 kez 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega kez (-1) / 9 = -4/3 omega #

ve bu ikisi arasındaki oran:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

Not Bu gerçeği # (d teta) / dt # işaret değişikliği, görünen geriye dönük hareketin sebebidir