Cevap:
Açıklama bakınız
Açıklama:
Bunu görmek kolaydır
# X ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 #
Dolayısıyla bizde var # (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 veya x = -3 #
Köklerin farkında olun # X_1 = 3, x_2 = -3 # çokluğuna sahip olmak #2#
çünkü dördüncü derece polinomumuz var.
Cevap:
#x = + -3 #
Açıklama:
Normalde, buradaki gibi 4. dereceden oluşan bir polinomu çözmek için, sentetik bölünme yapmanız ve çok sayıda teorem ve kural kullanmanız gerekir - biraz karışık olur. Ancak, bu bir özel çünkü biz onu ikinci dereceden bir denklem yapabiliriz.
Bunu izin vererek yapıyoruz. #u = x ^ 2 #. Nerede endişelenme # U # -dan geldi; bu sadece sorunu basitleştirmek için kullandığımız bir şey. İle #u = x ^ 2 #sorun olur
# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.
Bu daha iyi gözükmüyor mu? Şimdi güzel, kolay ikinci dereceden bir denklem ile karşı karşıyayız. Aslında, bu mükemmel bir karedir; Başka bir deyişle, çarpanlara ayırdığınızda, # (U-9) ^ 2 #. Tabii ki, bu denklemi çözmek için kuadratik formülü kullanabilir veya kareyi tamamlayabiliriz, ancak genellikle mükemmel bir kare kuadratik olması için yeterince şanslı değilsiniz - bu yüzden avantaj sağlayın. Bu noktada, biz var:
# (u-9) ^ 2 = 0 #
Çözmek için her iki tarafın karekökünü alırız:
#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #
Ve bu basitleştirir
# u-9 = 0 #
Sonunda, her iki tarafa da 9 ekliyoruz.
#u = 9 #
Korku veren! Neredeyse. Ancak, asıl sorunumuz var # X #İçinde ve cevabımız bir # U # içinde. Dönüştürmemiz gerekiyor #u = 9 # içine #x = # şey. Ama korkma! Unutma ki en baştan söyledik #u = x ^ 2 #? Peki şimdi biz bizim # U #Biz sadece bulmak için geri takın # X #. Yani, #u = x ^ 2 #
# 9 = x ^ 2 #
#sqrt (9) = x #
#x = + -3 # (Çünkü #(-3)^2 = 9# ve #(3)^2 = 9#)
Dolayısıyla çözümlerimiz #x = 3 # ve #x = -3 #. Bunu not et #x = 3 # ve #x = -3 # çifte kök, yani teknik olarak bütün kökler #x = 3 #, #x = 3 #, #x = -3 #, #x = -3 #.
