F (x) = arctan (x) Taylor serisi nedir?

#f (x) = sum_ {n = 1 '} ^ infty (1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Bize bazı detaylara bakalım.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Geometrik güç serisinin hatırla

# 1 / {1-x} = toplam_ {n = 0} ^ sonlu x ^ n #

değiştirerek # X # tarafından # -X ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Yani, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (1) ^ nx ^ {2n} #

Entegre ederek, #f (x) = int sum_ {n = 0} ^ sonlu (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

İntegral işaretini toplamın içine koyarak, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

Power Rule tarafından, # = Sum_ {n = 1 '} ^ infty (1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Dan beri #f (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 #

Bu nedenle, #f (x) = sum_ {n = 1 '} ^ infty (1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #