İnt (cos (x)) ^ 4 dx nedir?

Cevap:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Açıklama:

Başlangıçta gerçekten sinir bozucu bir integral olarak görünmekle birlikte, bu entegrali daha aşina olduğumuz bir dizi basit integral haline getirmek için trig kimliklerini kullanabiliriz.

Kullanacağımız kimlik:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Bu, denklemimizi şu şekilde değiştirmemize izin verir:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1/4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Şimdi parantez içindeki cos ^ 2 (2x) 'i kaldırmak için kuralımızı tekrar uygulayabiliriz:

# 1/4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1/4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1/8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1/8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Şimdi aslında oldukça basit bir entegrasyon problemimiz var, integrali parantezimize dağıtabiliriz:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Bu trig integrallerinin her biri, basit kurallarla ele alınır. #int cos (balta) dx = 1 / a günah (balta) #.

Böylece, # = 1/8 3x + 2 günah (2x) + 1/4 günah (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + günah (4x) #

Cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2 olduğunu gösterin. Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) ve cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10) yaparsam, kafam karıştı, çünkü cos (180 ° -theta) = - negatif olarak ikinci kadran. Soruyu nasıl ispat edeceğim?

Lütfen aşağıya bakın. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

İnt (sin x) / (cos ^ 2x + 1) dx nedir?

Int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = -arctan (cos (x)) + C u = cos (x) ile bir u-ikame oluşturacağız. U türevi, -sin (x) olacaktır, bu yüzden u: int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = int ile bütünleşmek için ayrılırız. cancel (günah (x)) / (1 + u ^ 2) * 1 / (- iptal (günah (x))) dx = -int 1 / (1 + u ^ 2) du Bu tanıdık arktandır İntegral, sonuç şu anlama gelir: -int 1 / (1 + u ^ 2) du = -arctan (u) + C x: -arctan cinsinden cevabını almak için u = cos (x) 'i tekrar kullanabiliriz (cos (x)) + C

İnt sin (x) ^ 3 * cos (x) dx'in integrali nedir?

= (sin ^ 4 (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx cos (x) öğesini kaldırmak için değiştirme kullanabiliriz. Öyleyse, kaynağımızı sin (x) olarak kullanalım. u = sin (x) Bundan sonra alacağımız anlamına gelir, (du) / (dx) = cos (x) dx'i bulacağız, dx = 1 / cos (x) * du Şimdi orjinal integrali yerine koyma, int_ u ^ 3 * cos (x) * 1 / cos (x) du cos (x) burada iptal edebiliriz, int_ u ^ 3 du = 1 / (3 + 1) u ^ (3 + 1) + C = 1/4 u ^ 4 + C Şimdi ayarı u, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C