Y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) eğrileri tarafından sınırlanan bölgenin y = 4 etrafında döndürülerek döndürülerek oluşturulan katı maddenin hacmini nasıl buluyorsunuz?

Cevap:

# V = 685 / 32pi # kübik birimler

Açıklama:

İlk önce grafikleri çiz.

# Y_1 = x ^ 2-x #

# Y_2 = 3-x ^ 2 #

# X #-intercept

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # Ve bizde var # {(X = 0), (x-1):} #

Yani kesişme noktaları #(0,0)# ve #(1,0)#

Tepe alın:

# Y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (X-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (X-1/2) ^ 2 #

Yani tepe noktası #(1/2,-1/4)#

Önceki tekrarla:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # Ve bizde var # {(X = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Yani kesişme noktaları # (Sqrt (3), 0) # ve # (- sqrt (3), 0) #

# Y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Yani tepe noktası #(0,3)#

Sonuç:

Ses nasıl alınır? Kullanacağız disk yöntemi!

Bu yöntem basitçe şudur: # "Cilt" = piint_a ^ tarafından ^ 2DX #

Fikir basit, ancak akıllıca kullanmanız gerekir.

Ve yapacağımız şey bu.

Hacmimizi arayalım # V #

# => V = v_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2DX #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2DX #

NB: alıyorum # (4-il) # Çünkü • y # sadece # X #-a eğriye eksene, oysa çizgiden mesafeye istiyoruz • y = 4 # eğriye!

Şimdi bulmak için # Bir # ve # B #, eşitiz # Y_1 # ve # Y_2 # ve sonra çözmek # X #

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2 x-3), (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1.5), (x = 1):} #

Dan beri # Bir # önce gelir # B #, # => A = -1 # ve # B = 1.5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (x ^ 2 + a-4) ^ 2DX #

# => Piint (1) ^ (1.5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

İçin aynı şeyi yapın # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (-1) ^ (1.5) (1 + x-4) ^ 2DX #

# => Piint (1) ^ (1.5) (1 + 2 x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1,5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = v_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = Renk (mavi) ((685pi) / 32) #