Aşağıdakileri kanıtlayın?

Cevap:

Aşağıyı kontrol et.

Açıklama:

# İnt_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2-1) dx> 0 # #<=>#

# İnt_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (1) dx # #<=>#

# İnt_1 ^ 2 ((E ^ x LNX) / x ^ 2) dx> X _1 ^ 2 # #<=># #<=>#

# İnt_1 ^ 2 ((E ^ x LNX) / x ^ 2) dx> 2-1 # #<=>#

# İnt_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> 1 #

Bunu kanıtlamamız gerek

# İnt_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> 1 #

Bir işlev düşünün #f (x) = e ^ x LNX #, # x> 0 #

Grafiğinden # C_f # bunun için fark edebiliriz # x> 0 #

sahibiz # E ^ x-LNX> 2 #

Açıklama:

#f (x) = e ^ x LNX #, # X ##içinde##1/2,1#

#f '(x) = e ^ x 1 / x #

#f '(1/2) = sqrte-2 <0 #

#f '(1) = E-1> 0 #

Bolzano (Orta Değer) Teoremine göre #f '(x_0) = 0 # #<=># # E ^ (x_0) -1 / x_0 = 0 # #<=>#

# E ^ (x_0) = 1 / x_0 # #<=># # X_0 = -lnx_0 #

Dikey mesafe arasında # E ^ x # ve # LNX # minimum olduğunda #f (x_0) = e ^ (x_0) -lnx_0 = x_0 + 1 / x_0 #

Bunu göstermemiz gerek #f (x)> 2 #, # AAx ##>0#

#f (x)> 2 # #<=># # X_0 + 1 / x_0> 2 # #<=>#

# X_0 ^ 2-2x_0 + 1> 0 # #<=># # (X_0-1) ^ 2> 0 # #-># için doğru # x> 0 #

grafik {e ^ x-inx -6,96, 7,09, -1,6, 5,42}

# (E ^ x LNX) / x ^ 2> 2 / x ^ 2 #

# İnt_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (2 / x ^ 2) dx # #<=>#

# İnt_1 ^ 2 ((E ^ x LNX) / x ^ 2) dx> - 2 / x _1 ^ 2 # #<=>#

# İnt_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> ##-1+2# #<=>#

# İnt_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> 1 # #<=>#

# İnt_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2-1) dx> 0 #