10 ile 50 arasında sayıları birimlerinin rakamlarıyla bölüştürecek sayıları belirlemenin sistematik bir yolu var mı?

Cevap:

Arasındaki sayıların sayısı #10# ve # 10k # birimleri tarafından bölünebilen rakamları olarak gösterilebilir.

# sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

nerede #fl (x) # kat fonksiyonunu temsil eder, haritalama # X # eşit veya daha küçük en büyük tam sayıya # X #.

Açıklama:

Bu kaç tane tam sayı olduğunu sormaya eşdeğerdir. # Bir # ve # B # nerede var 1. <= b <5 # ve 1. <= a <= 9 # ve # Bir # böler # 10b + a #

Bunu not et # Bir # böler # 10b + a # ancak ve ancak # Bir # böler # 10b #. Böylece, kaç tane olduğunu bulmak yeterlidir. # B #her biri için var # Bir #. Ayrıca, unutmayın # Bir # böler # 10b # eğer ve sadece her asal faktör # Bir # aynı zamanda bir ana faktördür # 10b # uygun çokluğa sahip.

Geriye kalan tek şey o zaman, her birinden geçmek # Bir #.

#a = 1 #: Tüm tamsayılar bölünebilir olduğu için #1#, için dört değer # B # iş.

# A = 2 #: Gibi #10# tarafından bölünebilir #2#, için dört değer # B # iş.

# A = 3 #: Gibi #10# tarafından bölünemez #3#, Biz sahip olmalıyız # B # bölünmek #3#, yani, # B = 3 #.

# A = 4 #: Gibi #10# tarafından bölünebilir #2#, Biz sahip olmalıyız # B # bölünebilir #2# uygun çeşitliliğe sahip olmak. Böylece, # B = 2 # veya # B = 4 #.

# A = 5 #: Gibi #10# tarafından bölünebilir #5#, için dört değer # B # iş.

# A = 6 #: Gibi #10# tarafından bölünebilir #2#, Biz sahip olmalıyız # B # bölünebilir #3#, yani, # B = 3 #.

# A = 7 #: Gibi #10# tarafından bölünemez #7#, Biz sahip olmalıyız # B # bölünebilir #7#. Fakat #b <5 #, ve bunun için değer yok # B # Eserleri.

# A = 8 #: Gibi #10# tarafından bölünebilir #2#, Biz sahip olmalıyız # B # bölünebilir #4#, yani, # B = 4 #

# A = 9: # Gibi #10# tarafından bölünemez #3#, Biz sahip olmalıyız # B # bölünebilir #3^2#. Fakat #b <5 #, ve bunun için değer yok # B # Eserleri.

Bu, her davayı sonlandırır ve böylece, onları eklediğimizde, soruda sonuçlandığı gibi, #17# değerler. Ancak bu yöntem kolayca daha büyük değerlere genişletilebilir. Mesela biz gitmek istiyorsak #10# için #1000#, kısıtlarız 1. <= b <100 #. Sonra bakıyor # A = 6 #diyelim ki #2# böler #10# ve böylece #6# böler # 10b # ancak ve ancak #3# böler # B #. Var #33# katları #3# aralığında # B #, ve böylece #33# biten sayılar #6# ve tarafından bölünebilir #6# arasında #10# ve #1000#.

Daha kısa, gösterimi hesaplamak daha kolay, yukarıdaki gözlemleri kullanarak, aradaki tamsayıların sayısını yazabiliriz. #10# ve # 10k # gibi

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n, 10))) = toplam_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

nerede #fl (x) # kat fonksiyonunu temsil eder, haritalama # X # eşit veya daha küçük en büyük tam sayıya # X #.