Lütfen, birileri sorunu çözmek için yardım?

Cevap:

Değişikliği dene # x = tan #

Aşağıya bakınız

Açıklama:

Biz biliyoruz ki # 1 + tan ^ 2 u = sn ^ 2u #

Önerilen değişikliğe göre

# dx = sec ^ 2u du #. İntegralde ikame edelim

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sn ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

Böylece, değişikliği geri almak:

# U = arctanx # ve sonunda biz var

#sin u + C = günah (arctanx) + C #

Cevap:

#color (mavi) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = X / sqrt (1 + x ^ 2) + c) #

Açıklama:

Bu integrali çözmek için Trigonometrik Substitution kullanmaya çalışalım. Bunu yapmak için dik açılı üçgen oluşturacağız. #Delta ABC # ve yanları, Pythagoras'ın formülünü kullanarak, şu anda gördüğümüz ifadeleri türev argümanında şu şekilde türetebileceğimizi etiketleyin:

Açı # / _ B = teta # karşı tarafı var # X # ve bitişik taraf #1#. Pisagor'un formülünü kullanarak:

# (BC) ^ 2, (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # sonuçlanır:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # gosterildigi gibi.

Şimdi, en temel üç trigonometrik işlevi yazalım. # Teta #:

# Sintheta = X / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Tantheta = X / 1 = x #

Şimdi, bu denklemleri, integral argümanının çeşitli parçaları için trigonometrik terimlerle çözmek için kullanmamız gerekiyor. Kullanalım # Tantheta #:

# Tantheta = x #

İki tarafın türevlerini alalım:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

İtibaren # Costheta # denklemi, çözebiliriz #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Bu denklemin her iki tarafını da yükseltirsek, #3# Biz alırız:

# Sn ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Şimdi, problem entegrali olarak hesapladığımız şeyi yerine bir trigonometrik integrale dönüştürmek için değiştirebiliriz:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sn ^ 2thetad teta) / sn ^ 3theta = intsec ^ 2teta / (secthetasec ^ 2teta) d teta = intcancelcolor (kırmızı) (sn ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (kırmızı) (sec ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad teta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad teta = sintheta + C #

Şimdi, yerine yenisini kullanabiliriz # Sintheta # ve cevabımızı şu şekilde bir cebirsel ifadeye dönüştürebiliriz: # X #:

#color (mavi) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = X / sqrt (1 + x ^ 2) + c) #