Birinci prensipten ayrılın x ^ 2sin (x)?

Cevap:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # türev tanımından ve bazı limitleri alarak.

Açıklama:

let #f (x) = x ^ 2 günah (x) #. Sonra

# (df) / dx = lim_ {h - 0} (f (x + s) - f (x)) / s #

# = lim_ {h - 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h - 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (günah (x) cos (h) + günah (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h - 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h - 0} (x ^ 2sin (s) çünkü (x)) / s + #

# lim_ {h - 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h - 0} (h ^ 2 (günah (x) cos (h) + günah (h) cos (x))) / h #

trigonometrik bir kimlik ve bazı basitleştirmelerle. Bu son dört hatta biz dört dönem.

İlk dönem o zamandan beri 0

#lim_ {h - 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h - 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, örneğin görülebilir. Taylor’un genişlemesi ya da L'Hospital’in kuralı.

Dördüncü dönem ayrıca yok olur çünkü

#lim_ {h - 0} (h ^ 2 (günah (x) cos (h) + günah (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h - 0} h (günah (x) cos (h) + günah (h) cos (x)) #

#= 0#.

Şimdi ikinci dönem kolaylaştırır

# lim_ {h - 0} (x ^ 2sin (s) çünkü (x)) / s #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h - 0} (günah (s)) / s) #

# = x ^ 2cos (x) #, dan beri

#lim_ {h - 0} (günah (h)) / h = 1 #burada gösterildiği gibi veya örn. L'Hospital'in kuralı (aşağıya bakınız).

üçüncü dönem kolaylaştırır

# lim_ {h - 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h - 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

hangisinden sonra ikinci terime ekleme bunu verir

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Not: L'Hospital'in kuralına göre, # lim_ {h - 0} sin (h) = 0 # ve # lim_ {h - 0} h = 0 # ve her iki işlev de farklı olabilir # H = 0 #bizde

# lim_ {h - 0} günah (sa) / s = lim_ {h - 0} ((d / (dh)) günah (sa)) / (d / (dh) sa) = lim_ { h ila 0} cos (h) = 1 #.

Sınırı # lim_ {h - 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # benzer şekilde gösterilebilir.